Komplexní analýza

Mandelbrotova množina, fraktál.

Komplexní analýza je jeden z komplexních oborů matematiky s kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se jí známí matematici jako Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfních funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v kvantové teorii pole.

Komplexní funkce je funkce, kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.

Pro každou komplexní funkci lze nezávislou proměnnou i závislou proměnnou separovat na reálnou a imaginární část:

${\displaystyle z=x+iy\,}$ a

${\displaystyle w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,}$

kde ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \,}$ a ${\displaystyle u(x,y),v(x,y)\,}$ jsou funkce s reálnými hodnotami.

Jinými slovy, složky funkce f(z),

${\displaystyle u=u(x,y)\,}$ a

${\displaystyle v=v(x,y),\,}$

lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných, x a y.

Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních funkcí reálné proměnné (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.

Holomorfní funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmnožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky než obvyklá (reálná) diferencovatelnost.