Karl Menger

V teórii grafov je po Mengerovi pomenovaná tzv. Mengerova veta o súvislosti grafov. Veta hovorí, že veľkosť minimálneho hranového rezu grafu pre dané vrcholy x a y, teda minimálny počet hrán, ktorý treba z grafu odobrať na to, aby boli x a y v rôznych komponentoch súvislosti, je rovný maximálnemu počtu ciest z x do y, ktoré majú po dvoch disjunktné množiny hrán.

Existuje aj obmena vety, ktorá hovorí, že pre nesusedné vrcholy x a y je veľkosť minimálneho vrcholového rezu grafu pre vrcholy x a y (počet vrcholov, ktoré treba odobrať, aby boli x a y v rôznych komponentoch súvislosti) rovný maximálnemu počtu ciest z x do y, ktoré majú po dvoch disjunktné množiny vrcholov.

Mengerovou obľúbenou témou bolo štúdium štruktúry metrických priestorov geometrickými metódami -- sám túto disciplínu nazýval metrickou geometriou. Zahŕňala štúdium geodetík alebo krivosti oblúkov a povrchov. To sú pojmy, ktoré sa štandardne študujú v rámci diferenciálnej geometrie a medzi klasické pomôcky patria lokálne mapy a súradnice. Menger si uvedomil, že vo vhodných metrických priestoroch možno tieto pojmy rozumne definovať a skúmať aj bez použitia súradníc. V roku 1930 publikoval prácu, v ktorej definuje krivosť oblúka v konvexnom metrickom priestore:

Definícia: Krivosť ľubovolnej trojice bodov p,q,r v konvexnom metrickom priestore je obrátená hodnota polomeru nimi určenej kružnice. Nech A je oblúk v tomto priestore a nech a je bod na ňom ležiaci. Krivosť oblúka A v bode a je limita krivostí takých trojíc bodov p,q,r, ktoré ležia na A a ich vzdialenosti od bodu a konvergujú k nule.

Tu si treba uvedomiť, že už len existencia niečoho, čo sa dá nazvať "kružnica určená troma bodmi" je vysoko netriviálny výsledok o štruktúre konvexných metrických priestorov. To, že je pojem krivosti takto dobre definovaný, predstavuje tiež netriviálny fakt -- totiž, nie je jednoduché ukázať, že ak limita krivostí existuje, tak nezávisí od voľby konvergentnej postupnosti trojíc p,q,r.

Iný Mengerov výsledok z metrickej geometrie je veta o izometrickom vnorení metrického priestoru do lineárneho priestoru.

Veta: Metrický priestor P možno izometricky vnoriť do Hilbertovho priestoru H vtedy a len vtedy, ak sú splnené nasledujúce dve podmienky:

• P je separabilný
• pre každé prirodzené číslo n možno každú n+1-prvkovú podmnožinu P izometricky vnoriť do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

V roku 1927, keď získal miesto na Viedenskej univerzite, začal si Menger pripravovať podklady na prednášku o projektívnej geometrii. Pri tejto príležitosti dôkladne preštudoval staršie Veblenove a Hilbertove práce o axiomatizácii projektívnej geometrie. Mengerovi sa ani jeden z prístupov nezdal dostatočne elegantný.

Vo Veblenovej axiomatizácii mali body projektívneho priestoru výnimočné postavenie oproti priamkam, rovinám a objektom vyšších dimenzií. Toto privilegované postavenie však nemá žiadne opodstatnenie v samotnej projektívnej geometrii -- napríklad už len kvôli tomu, že body sú v n-rozmernom projektívnom priestore duálne k n-1-rozmerným podpriestorom. Hilbertova axiomatizácia zase potrebovala celú hierarchiu objektov rôznych typov odstupňovaných podľa dimenzie.

V roku 1928 Menger publikoval článok Axiomatik der endlichen Mengen und der elementargeometrischen Verknüpfungsbeziehungen, v ktorom prezentoval nový prístup. Menger si ako východisko zvolil základnú konštrukciu projektívneho priestoru, keď sa projektívny priestor dimenzie n stotožňuje so systémom všetkých lineárnych podpriestorov vopred zvoleného n+1-rozmerného vektorového priestoru. Menger v tomto systéme zaviedol operácie prieseku a spojenia podpriestorov a vyšetril vlastnosti týchto, zatiaľ ešte, geometrických operácií. Tak dospel k algebraickej štruktúre, ktorej dal neskôr Garrett Birkhoff názov lattice -- po slovensky zväz. Menger ďalej charakterizoval tú triedu zväzov, ktoré zodpovedajú projektívnym priestorom. Neskôr zväzovo teoretickými metódami skúmal aj geometriu afinných priestorov. Nezávisle od Mengera dospel k podobným výsledkom aj Birkoff.

Pre úplnosť je treba poznamenať, že k pojmu zväzu sa už začiatkom 20. storočia, aj keď na základe iných úvah, dopracoval Dedekind a v 19. storočí Boole.

Menger sa počas svojho štúdia na gymnáziu a neskôr, počas prvého roku štúdia na vysokej škole, profiloval ako fyzik. Skúsenosť s fyzikou sa potom tiahla celou jeho profesionálnou kariérou a kde-tu motivovala k zaujímavým počinom. Aj pri zrode idey pravdepodobnostného metrického priestoru stála fyzikálna motivácia.

Každý fyzikálny experiment, každá meraná fyzikálna veličina, či už objem, plocha alebo pozícia, je obeťou experimentálnych chýb merania. Podľa Heisenbergovho princípu neurčitosti sú niektoré dvojice veličín dokonca principiálne nemerateľné s ľubovolnou presnosťou. V roku 1942 Menger publikoval krátku správu nazvanú Statistical metrics, v ktorej ukazuje zaujímavý spôsob ako popísať a študovať priestory, v ktorých nie je možné presne merať vzdialenosti. Ako východisko použil pojem klasického metrického priestoru, pričom vzdialenosť dvoch bodov p, q neohodnotil jednoduchou číselnou hodnotou, ale distribučnou funkciou F_pq, ktorej hodnotu F_pq(x) v bode x interpretoval ako pravdepodobnosť, že vzdialenosť bodov p a q je menšia než x.

Raná teória pravdepodobnostných metrických priestorov bola plná otvorených problémov, ktorých sa zhostili Mengerovi žiaci. Nesmierny kus práce tu odviedol Abraham Wald, po ktorom sú pomenované Waldovské priestory -- špeciálna trieda pravdepodobnostných metrických priestorov. Žiaľ, Wald predčasne zahynul pri havárii lietadla. Po jeho smrti sa teórii intenzívne venovali Mengerov kolega Abe Sklar a bývalý Mengerov študent Berthold Schweizer. Ich pričinením sa teória vyvinula na úroveň rešpektovanej matematickej disciplíny. Výsledky a pojmy z teórie pravdepodobnostných metrických priestorov našli významné uplatnenie v iných odvetviach matematiky a vo fyzike. Napríklad bez pojmu t-normy si dnes nevieme predstaviť fuzzy logiku a teóriu fuzzy množín. Iný príklad -- pojem kopule sa stal legitímnym nástrojom matematickej štatistiky. Pritom oba pojmy boli zavedené a preskúmané práve v kontexte pravdepodobnostných metrických priestorov.

Od roku 1923, keď editoval druhé vydanie Grundsätze des Ökonomie, knihy svojho otca Carla Mengera, zaujímal sa Menger aj o ekonómiu. Jeho vlastný prínos spočíva hlavne v teórii neistoty a vo formálnom uchopení zákona klesajúcich výnosov.

V roku 1934 Menger na matematickom kolokviu prezentoval a vzápätí aj publikoval prácu Unsicherheitsmoment in der Wertlehre zaoberajúcu sa problémom známym tiež ako Petrohradský paradox. Petrohradský paradox je jednoduchá antagonistická hra dvoch hráčov, v ktorej zohráva dôležitú rolu náhoda. V krátkosti: hru hrajú dvaja hráči A a B. Hráč A na začiatku zaplatí dohodnutú sumu i korún, aby sa vôbec mohol hry zúčastniť. Potom začne hráč B hádzať mincou a hádže dovtedy, kým nepadne hlava pričom počíta počet hodov n. Potom ako padne prvýkrát hlava, zaplatí hráč B hráčovi A sumu 2ⁿ korún a hra končí. Je zrejmé, že ak hráč B nezvolí dostatočne citlivo cenu hry i, ktorú musí hráč A zaplatiť ako vstupný poplatok, môže rýchlo zbankrotovať. Tiež je zrejmé, že ak chce B v dlhodobom horizonte na prevádzkovaní hry zarábať, musí byť vstupný poplatok väčší ako stredná hodnota výplaty. Vtip je v tom, že výplata takejto hry je náhodná veličina, ktorá nemá strednú hodnotu. Presnejšie povedané, má nevlastnú strednú hodnotu ${\displaystyle +\infty }$. To znamená asi toľko, že bez ohľadu na výšku vstupného poplatku i bude hráč B v dlhodobom horizonte stratový. Zaujímavé je pritom ale to, že drvivá väčšina nepoučených respondentov v psychologickom teste navrhne ako spravodlivú cenu hry sumu v hodnote okolo 2 korún.

O vysvetlenie tohoto javu sa pokúšal už Bernoulli pomocou pojmu funkcie úžitku. Menger sa naproti tomu snažil fenomén vysvetliť pomocou subjektívnych pravdepodobností tak, ako ich vníma hráč B. Táto práca neskôr stimulovala von Neumanna k vybudovaniu axiomatickej teórie úžitku a teórie hier.

Mengerov článok The Logic of the Laws of Return z roku 1954 je prísne formálna a matematická analýza zákona klesajúcich výnosov. V tom čase bolo v ekonomickej literatúre množstvo formulácií a dôkazov tohto zákona pochádzajúcich napríklad od Ludwiga Misesa, Eugena Bawerka alebo Knuta Wicksella. Menger vyjasnil logické a matematické vzťahy medzi nimi a poskytol solídne základy pre ďalšie matematické štúdium tejto problematiky.

Menger sa spolu so Schlickom vážne zaujímal o otázky etiky. V roku 1934 publikoval knihu Moral, Wille und Weltgestaltung, v ktorej aplikoval precízne logicko-deduktívne postupy na poli etiky. Jeho zámerom bolo pristúpiť ku štúdiu vybraných otázok etiky tak precízne a disciplinovane, ako je to zvykom v logike alebo matematike. Preto sa v úvahách prísne vyhýbal nepodloženým predpokladom a metafyzickým argumentom. Jednou z diskutovaných tém je Kantov kategorický imperatív. Menger dokazuje, že kategorický imperatív nijako neobstojí ako vysvetlenie konania jednotlivcov alebo skupín. Kniha bola v roku 1974 vydaná v anglickom jazyku s podtitulom Toward a Logic of Ethics. Významný filozof a teoretik vedy Karl Popper o nej povedal:

"This is one of a few books in which the author attempts to depart from the stupid talk in ethics."

Pokus o dramatickú tvorbu treba chápať skôr ako kurióznu kapitolu v Mengerovom živote. V roku 1920, keď bol Menger študentom posledného ročníka na gymnáziu, bol jeho spolužiakom aj Heinrich Schnitzler, ktorého otec Arthur bol známy dramatik. V denníku Arthura Schnitzlera sa nachádza niekoľko poznámok o Mengerovi datovaných 1920 až 1931. Ani jedna z nich nie je priaznivá. Menger v skutočnosti pracoval na dráme o spornej Pápežke Jane. Schnitzler poznamenáva, že Mengerove snahy o drámu sú neúspešné, že dielo je nepríjemné a že Mengerove ambície nesiahajú ďalej než po jeho dokončenie. O Mengerovi sa Schnitzler vyjadruje ako o nenormálnom podivínovi a megalomanovi so samovražednými sklonmi, aj keď pripúšťa jeho kvality v matematike a fyzike. Snahy o dramatickú tvorbu, akokoľvek nevýznamné boli, poskytujú nám svedectvo o nesmiernej Mengerovej všestrannosti a tvorivej sile.