Gödelova veta o neúplnosti
V roku 1931 Gödel dokázal tzv. vetu o neúplnosti, ktorá odhalila hranice Hilbertovho programu.
Gödelova veta o neúplnosti je matematická veta.
Je to jedna z najvýznamnejších viet základného matematického výskumu. Z filozofického hľadiska je to rozhodujúca veta o podstate matematiky.
Formulácia
Vetu o neúplnosti možno formulovať takto:
- V každom bezospornom formálnom systéme, ktorý obsahuje aspoň aritmetiku prirodzených čísiel (a tým aj svoju matematematiku), existujú výrazy (formalizované výroky), ktoré sa - a ani ich negácie - nedajú odvodiť v rámci výrokového počtu.
- Každý výrokový počet vyššieho ako prvého rádu je v uvedenom zmysle neúplný, nie všetky dôsledky výrokového počtu možno odvodiť z ľubovoľne zvolených axióm pomocou konečného počtu krokov (algoritmus).
To by mohlo svedčiť o nekonečnosti významových útvarov.
Preto nemožno matematiku ani ako celok, ani v jej podstatných častiach chápať ako uzavretý kalkul. Predovšetkým to znamená, že nemožno súčasne potvrdiť úplnosť a bezospornosť výrazovo dostatočne bohatej matematickej oblasti.
V uvedenom zmysle je buď bezosporná a potom neúplná, alebo úplná a potom protirečivá. Keďže sa nemožno zrieknuť bezospornosti, treba sa zrieknuť úplnosti.
To znamená, že vo výrazovo dostatočne bohatej matematickej oblasti síce možno v dostatočne obsiahlom logickom jazyku vety formulovať, ale ich nemožno odvodiť.
Gödelova veta navždy odstránila predstavu o matematike (alebo aj jej častiach) ako úplnej, navždy uzavretej vede.
Externé odkazy
- FILIT Zdroj z ktorého (pôvodne) čerpal tento článok