Lorentzova grupa

Světelný kužel ve dvojrozměrném prostoru s jednou časovou dimenzí.

Díky tomu, že Lorentzova grupa O(1,3) je Lieovou grupou, je jednak grupou a zároveň připouští topologický popis jako hladké variety. Jako varieta má čtyři souvislé komponenty. Intuitivně to znamená, že sestává ze čtyř topologicky oddělených částí.

Čtyři souvislé komponenty lze klasifikovat dvěma transformačními vlastnostmi, které mají jejich prvky mít:

• Některé prvky jsou při Lorentzových transformacích invertujících čas obráceny, například Minkowského prostor ukazující do budoucnosti je invertován na vektor ukazující do minulosti
• Některé prvky mají obrácenou orientaci kvůli nevlastní Lorentzově transformaci, například určité tetrády (vierbein)

Lorentzovy transformace, které zachovávají směr času, se nazývají ortochronní. Podgrupa ortochronních transformací se často označuje O⁺(1,3). Transformace, které zachovávají orientaci, se nazývají vlastní, a jako lineární transformace mají determinant +1. (Nevlastní Lorentzovy transformace mají determinant −1.) Podgrupa vlastních Lorentzových transformací se označuje SO(1,3).

Podgrupa všech Lorentzových transformací zachovávajících orientaci i směr času se nazývá vlastní, ortochronní Lorentzova grupa nebo omezená Lorentzova grupa a značí se symbolem SO⁺(1, 3). (Někteří autoři používají označení SO(1,3) nebo dokonce O(1,3) pro SO⁺(1, 3).)

Množinu čtyř souvislých komponent lze považovat za grupu jako faktorovou grupu O(1,3)/SO⁺(1,3), která je izomorfní s Kleinovou čtyřgrupou. Každý prvek v O(1,3) lze zapsat jako semidirektní součin vlastní, ortochronní, transformace a prvku diskrétní grupy

{1, P, T, PT}

kde P a T jsou operátory parity a obrácení toku času:

P = diag(1, −1, −1, −1)

T = diag(−1, 1, 1, 1).

Libovolnou Lorentzovu transformaci lze tedy zadat jako vlastní, ortochronní, Lorentzovu transformaci spolu s dalšími dvěma bity informace, které vybírají jednu ze čtyř souvislých komponent. Tato struktura je typická pro konečněrozměrné Lieovy grupy.

Hyperboloid s jedním povrchem

Společný kuželovitý povrch

Hyperboloid se dvěma povrchy

Pokud grupa G působí na prostor V, pak povrch S ⊂ V je povrch tranzitivity, pokud S je invariantní při G, tj. ∀g ∈ G, ∀s ∈ S: gs ∈ S a pro jakýkoli dva body s₁, s₂ ∈ S existuje g ∈ G tak, že gs₁= s₂. Podle definice Lorentzovy grupy zachovává kvadratickou formu

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$

Povrchy tranzitivity ortochronní Lorentzovy grupy O⁺(1, 3), Q(x) = const. prostoročasu jsou následující:[3]

• Q(x) > 0, x₀ > 0 je horní část hyperboloidu se dvěma povrchy. Body na této části jsou od počátku souřadnicového systému odděleny budoucím časoprostorovým vektorem.
• Q(x) > 0, x₀ < 0 je spodní část tohoto hyperboloidu. Body na této části jsou minulé časoprostorové vektory.
• Q(x) = 0, x₀ > 0 je horní část světelného kužele, budoucí světelný kužel.
• Q(x) = 0, x₀ < 0 je spodní část světelného kužele, minulý světelný kužel.
• Q(x) < 0 je hyperboloid tvořený jedním povrchem. Body na této ploše jsou časoprostorově odděleny od počátku souřadnicového systému.
• Počátek souřadnicového systému x₀= x₁= x₂= x₃= 0.

Tyto povrchy jsou trojrozměrné, takže obrázky nejsou věrné, ale věrně odpovídají faktům o O⁺(1, 2). Pro úplnou Lorentzovu grupu jsou povrchy tranzitivity pouze čtyři, protože transformace T změní horní část hyperboloidu (kuželu) na dolní a naopak.

Tato pozorování představují dobrý počátek pro hledání všech nekonečnědimenzionálních unitárních reprezentací Lorentzovy grupy, respektive Poincarého grupy, pomocí metody indukované reprezentace.[4] Začneme se „standardním vektorem“, jeden pro každý povrch tranzitivity a pak se práme, která podgrupa zachovává tyto vektory. Tyto podgrupy fyzikové nazývají akce grupy na množině. Problém pak je v zásadě redukovaný na snazší problém hledání reprezentací malých grup. Například standardní vektor v jednom z ramen hyperboly lze vhodně zvolit jako (m, 0, 0, 0). Pro každé m ≠ 0 prochází vektor právě jednou částí (plochou). V tomto případě je malá grupa SO(3), ortogonální grupa, jejíž všechny reprezentace jsou známy. Přesná nekonečněrozměrná unitární reprezentace, při které transformace částic jsou částí své klasifikace. Ne všechny reprezentace mohou odpovídat fyzikálním částicím (pokud víme). Standardní vektory na hyperbolách s jednou částí by odpovídaly tachyonům. Částice na světelném kuželu jsou fotony a hypotetické gravitony. „Částicí“ odpovídající počátku souřadnicového systému je vakuum.

Weylova reprezentace nebo spinorové zobrazení je dvojice surjektivních homomorfismů SL(2,C) na SO⁺(1,3), které při transformacích parity tvoří srovnaný pár, odpovídající levému a pravému chirálnímu spinoru.

Na Minkowského prostoročasu můžeme definovat akci SL(2,C) tak, že bod prostoročasu vyjádříme hermitovskou maticí 2×2 ve tvaru

${\displaystyle {\overline {X}}={\begin{pmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{pmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

pomocí Pauliho matic. Tato Weylova prezentace vyhovuje vztahu

${\displaystyle \det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Proto máme identifikovaný prostor Hermitovské matice (který je čtyřrozměrný, stejně jako reálný vektorový prostor) s prostoročasem Minkowského takovým způsobem, že determinant Hermitovské matice je druhá mocnina délky odpovídajícího vektoru v Minkowského prostoročasu. Prvek ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ působí na prostoru Hermitovských matic přes

${\displaystyle {\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,}$

kde ${\displaystyle S^{\dagger }}$ je Hermitovská transpozice ${\displaystyle S}$. Tato akce zachovává determinant, a proto SL(2,C) působí na Minkowského prostoročasu jako (lineární) izometrie. Tvar s obrácenou paritou je

${\displaystyle X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

který se transformuje jako

${\displaystyle X\mapsto (S^{-1})^{\dagger }XS^{-1}}$

Že jde o korektní transformaci, vyplývá z toho, že

${\displaystyle {\overline {X}}X=(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}})1\!\!1=(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})1\!\!1}$

zůstává invariantní vůči výše uvedené dvojici transformací.

Tato zobrazení jsou surjektivní a jádro každého z nich je dvouprvková podgrupa ±I. Díky první větě o isomorfismu je podílová grupa PSL(2,C) = SL(2,C) / {±I} izomorfní s SO⁺(1,3).

Zobrazení parity tato dvě pokrytí prohazuje. To znamená, že Hermitovská konjugace je automorfismus ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} ).}$ Tyto dvě různá pokrytí odpovídají dvěma různým chiralitním akcím Lorentzovy grupy na spinorech. Tvar bez pruhu odpovídá pravostranné spinorové transformaci ${\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}~,}$ zatímco tvar s pruhem odpovídá levostranné spinorové transformaci ${\displaystyle \psi _{L}\mapsto (S^{\dagger })^{-1}\psi _{L}~.}$[pozn. 1]

Je důležité si všimnout, že tento pár pokrytí není zachován při kvantizaci; což vede ke zvláštnímu jevu chirální anomálie. Kvantizace porušuje klasické (tj. nekvantizované) symetrie Lorentzovy grupy; to říká Atiyahova–Singerova indexová věta.

V fyzice se Lorentzova transformace obvykle značí ${\displaystyle \Lambda \in SO^{+}(1,3)}$ jako ${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }~,}$ tedy používat matici s prostoročasovými indexy ${\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3.}$ Čtyřvektor lze z Pauliho matice vytvořit dvěma způsoby: jako ${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$ a jako ${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }})~,}$ které se vztahují k paritní transformaci. Pamatujte, že ${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }=\sigma ^{\mu }~.}$

Je-li dána Lorentzova transformace ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }~,}$ pak dvojité pokrytí ortochronní Lorentzovy grupy ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ uvedené výše lze zapsat jako

${\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

Zanedbáním ${\displaystyle x^{\mu }}$ dostaneme tvar

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

Paritně konjugovaný tvar je

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Není okamžitě zjevné, že výše uvedený tvar je správným tvarem indexované notace. Částečně protože při práci v indexované notaci je docela snadné si náhodně plést Lorentzovu transformaci s její inverzí nebo její transpozicí. Tato nedorozumění se objevují způsobené identity ${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}}$ se obtížně rozpoznává, pokud je napsané v indexovaném tvaru. Lorentzovy transformace nejsou tensory při Lorentzově transformaci! Tedy přímý důkaz této identity je užitečný, pro vytvoření jeho korektnost. To lze ukázat, když začneme identitou

${\displaystyle \omega \sigma ^{k}\omega ^{-1}=-(\sigma ^{k})^{T}=-(\sigma ^{k})^{*}}$

kde ${\displaystyle k=1,2,3}$ , takže výše uvedené jsou pouze obvyklé Pauliho matice a ${\displaystyle (\cdot )^{T}}$ je matice transpozice a ${\displaystyle (\cdot )^{*}}$ je komplexní konjugace. Matice ${\displaystyle \omega }$ je

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

Napsaný jako čtyřvektor, vztah je

${\displaystyle \sigma _{\mu }^{T}=\sigma _{\mu }^{*}=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}}$

Tento transformace jako

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mu }^{T}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }&=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\,S^{\dagger }\omega ^{-1}\\&=(\omega S\omega ^{-1})\,(\omega {\overline {\sigma }}_{\nu }\omega ^{-1})\,(\omega S^{\dagger }\omega ^{-1})\\&=(S^{-1})^{T}\,\sigma _{\nu }^{T}\,(S^{-1})^{*}\end{aligned}}}$

Pokud vezmeme o jednu transpozici více, dostaneme

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Symplektická grupa Sp(2,C) je izomorfní s SL(2,C). Tento izomorfismus je zkonstruován tak, aby zachovával symplektický vektorový prostor na ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}$ tj. ponechal tvar invariantní při Lorentzově transformaci. To můžeme vyjádřit takto. Symplektická grupa je definována jako

${\displaystyle Sp(2,\mathbb {C} )=\{S\in GL(2,\mathbb {C} ):S^{T}\omega S=\omega \}}$

kde

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

Jiné běžné notace jsou ${\displaystyle \omega =\varepsilon }$ pro tento prvek; někdy ${\displaystyle J}$ se používá, ale toto způsobuje nedorozumění s myšlenkou téměř komplexních struktur, které nejsou stejné, protože se transformují odlišně.

Je-li dána dvojice Weylových spinorů (které mají dvě složky)

${\displaystyle u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}~,\quad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}}$

invariantní bilineární tvar se tradičně zapisuje

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{T}\omega v}$

Tento tvar je invariantem v Lorentzově grupě, takže pro ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ máme

${\displaystyle \langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle }$

Tento vztah definuje určitý druh „skalárního součinu“ spinorů a často se používá pro definici Lorentzova invariantu hmotnostního členu v Lagrangiánech. Existují několik významných vlastností, které je třeba připomenout, protože jsou důležité pro fyziku. Jedním je, že ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ a tak ${\displaystyle \omega ^{-1}=\omega ^{T}=\omega ^{\dagger }=-\omega }$

Definiční relaci lze zapsat jako

${\displaystyle \omega S^{T}\omega ^{-1}=S^{-1}}$

což se blízce podobá definici relace pro Lorentzova grupa

${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}}$

kde ${\displaystyle \eta =\mathrm {diag} (+1,-1,-1,-1)}$ je metrický tenzor pro Minkowského prostor a samozřejmě, ${\displaystyle \Lambda \in SO(1,3)}$ stejně jako výše.

Eliptický prvek SL(2,C) je

${\displaystyle P_{1}={\begin{pmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{pmatrix}}}$

a jeho pevné body jsou ξ = 0, ∞. Pokud zapíšeme akci jako X ↦ P₁ X P₁^† a shromáždíme členy, spinorové zobrazení jej konvertuje na (omezenou) Lorentzovu transformaci

${\displaystyle Q_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\right)~.}$

Tato transformace pak reprezentuje rotace kolem osy z, exp(iθJ_z). Jednoparametrické podgrupa, kterou generuje, lze získat když θ nebo konstanta, ale reálná proměnná, rotační úhel.

Odpovídající spojité transformace nebeské sféry (až na identitu) vesměs sdílejí tytéž dva pevné body, severní a jižní pól. Všechny ostatní body transformace přesunuje po rovnoběžkách, takže při zvětšování θ dává tato grupa spojité rotace proti směru hodinových ručiček kolem osy z. Úhel zdvojnásobení zjevný v spinorovém zobrazení je charakteristickou vlastností spinorového dvojitého pokrytí.

Hyperbolický prvek grupy SL(2,C) je

${\displaystyle P_{2}={\begin{pmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{pmatrix}}}$

a má pevné body ξ = 0, ∞. Při stereografické projekci z Riemannovy sféry do Eukleidovské roviny působí tato Möbiova transformace dilaci od počátku souřadnicového systému.

Spinorové zobrazení ji konvertuje na Lorentzovu transformaci

${\displaystyle Q_{2}={\begin{pmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{pmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}\right)~.}$

Tento transformace reprezentuje boost podél osy z s Rapidita η. Jednoparametrická podgrupa, kterou generuje, lze získat nahrazením konstanty η reálnou proměnnou. Odpovídající spojité transformace nebeské sféry (až na identitu) vesměs sdílejí stejné pevné body (severní a jižní pól) a přesunují všechny jiné body podél zeměpisných délek od jižního pólu k severnímu.

Loxodromický prvek SL(2,C) je

${\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{pmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{pmatrix}}}$

a má pevné body ξ = 0, ∞. Spinorové zobrazení konvertuje toto na Lorentzovu transformaci

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}.}$

Jednoparametrický podgrupa toto generuje je získaný nahrazením η+iθ s jakýkoli reálný více tohoto komplexní konstanta. (Pokud η, θ se mění nezávisle, pak získáme dvourozměrné abelovské podgrupy sestávající ze současné rotace kolem osy z a boosty podél osy z; naproti tomu jednorozměrná podgrupa zde diskutovaná sestává z těch prvků této dvourozměrné podgrupy tak, že rychlost boostu a úhel rotace mají pevný poměr.)

Odpovídající spojité transformace nebeské sféry (až na identitu) vesměs sdílejí stejné dva pevné body (severní a jižní pól). Ty přesunují všechny ostatní body od jižního pólu a k severnímu pól (nebo naopak), podél rodiny křivek nazývané loxodromy. Každá loxodroma ovíjí nekonečně mnohokrát oba póly.

Parabolický prvek grupy SL(2,C) je

${\displaystyle P_{4}={\begin{pmatrix}1&\alpha \\0&1\end{pmatrix}}}$

a má na Riemannově sféře jediný pevný bod ξ = ∞. Při stereografické projekci se to projevuje jako obyčejné posunutí podél reálné osy.

Spinorové zobrazení konvertuje toto na matici (reprezentující Lorentzovu transformaci)

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{pmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{pmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{pmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

To generuje dvouparametrickou abelovskou podgrupu, kterou lze získat nahrazením konstanty α komplexní proměnnou. Odpovídající spojité transformace nebeské sféry (až na identickou transformaci) přesunují body podél rodina kružnic, které jsou vesměs tečné k severnímu pólu, na určitou hlavní kružnici. Všechny body různé od severního pólu samotného se přesunují podél těchto kružnic.

Parabolické Lorentzovy transformace se často nazývají nulové rotace. Protože jde pravděpodobně o nejméně známé ze čtyř typů neidentických Lorentzových transformací (eliptické, hyperbolické, loxodromické, parabolické), ukážeme zde, jak určit vliv příkladu parabolické Lorentzovy transformace na prostoročas Minkowského.

Výše uvedená matice dává transformaci

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{pmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{pmatrix}}+\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{pmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{pmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{pmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{pmatrix}}.}$

Bez ztráty obecnosti nyní položíme Im(α) = 0. Derivováním této transformace podle nyní reálného grupového parametru α a její vyhodnocení pro α=0 dává odpovídající vektorové pole (lineární parciální diferenciální operátor prvního řádu):

${\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.}$

Nyní aplikujeme tento vztah na funkci f(t, x, y, z) a uplatníme požadavek, aby byla zachována invariance, tj. aby byla touto transformací anihilována. Řešení výsledné lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu lze vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}$

kde F je libovolná hladká funkce. Její argumenty dávají tři racionální invarianty popisující, jak se body (události) posunují při této parabolické transformaci, když se ony samy nepřesunují,

${\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

Volba reálných hodnot pro konstanty na pravé straně dává tři podmínky, která definují nějakou křivku v prostoročasu Minkowského. Tato křivka je orbitou transformace.

Tvar racionálních invariantů ukazuje, že popis těchto proudnic (orbit) je jednoduchý: zanedbáním neesenciální souřadnice y bude každá orbita průnikem nulové roviny, t = z + c₂, s hyperboloidem, t² − x² − z² = c₃. Pro případ c₃ = 0 hyperboloid degeneruje na světelný kužel a orbity přejdou na paraboly ležící v odpovídajících nulových rovinách.

Určitá nulová čára ležící na světelném kuželu je levým invariantem; to jednoznačně odpovídá (dvojitému) pevnému bodu na Riemannově sféře zmíněnému výše. Ostatní nulové čáry procházející počátkem souřadnicového systému jsou transformací „otočeny kolem kuželu“. Sledování pohybu jedné takové nulové čáry při zvětšujícím se α odpovídá sledování pohybu bodu podél jedné z kruhových linií toku na nebeské sféře, jak je popsáno výše.

Naopak volba Re(α) = 0 dává podobné orbity, ale s prohozenými rolemi x a y.

Parabolická transformace vede ke kalibrační symetrii nehmotných částic (jako jsou fotony) s helicitou |h| ≥ 1. Ve výše uvedeném explicitním příkladě není nehmotná částice pohybující se ve směru osy z, tedy se čtyřhybností P=(p, 0, 0, p), vůbec ovlivněna ani x-boostem ani y-rotační kombinací K_x − J_y definovanou níže v „malé grupě“ svého pohybu. To je zjevné z explicitní transformace tohoto zákona: jako jakýkoli světelný vektor je P samotný nyní invariantem, což znamená, že všechny stopy nebo účinky α zmizely. c₁ = c₂ = c₃ = 0 ve zvláštním diskutovaném případě. (Jiný podobný generátor, K_y+J_x stejně jako on a J_z tvoří dohromady malou grupu světlupodobných vektorů, izomorfní s E(2).)

Tento izomorfismus má za následek, že Möbiovy transformace Riemannovy sféry představují způsob, jakým Lorentzovy transformace mění vzhled noční oblohy, jak ji vidí pozorovatel pohybující se relativistickými rychlostmi vůči „pevným hvězdám“.

Předpokládejme, že „pevné hvězdy“ se nacházejí v prostoročasu Minkowského a jsou znázorněny body na nebeské sféře. Pak lze každému bodu na nebeské sféře přiřadit komplexní číslo ξ = u + iv, které odpovídá určitému bodu na Riemannově sféře a lze jej identifikovat s nulovým vektorem (a světlupodobným vektorem) v prostoru Minkowského

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{pmatrix}}}$

nebo ve Weylově reprezentaci (spinorovém zobrazení) hermitovské matici

${\displaystyle N=2{\begin{pmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{pmatrix}}.}$

Množina reálných skalárních násobků tohoto nulového vektoru nazývaná nulová čára procházející počátkem souřadnicového systému reprezentuje přímou viditelnost různých vzdálených objektů, jako například hvězd, z místa pozorovatel v určitém místě a čase (libovolnou událost můžeme identifikovat s počátkem souřadnicového systému prostoročasu Minkowského). Pak body nebeské sféry (nebo ekvivalentně zorné čáry) lze identifikovat určitými hermitovskými maticemi.

Další generující množina vznikne izomorfismem na Möbiově grupě. Následující tabulka udává šest generátorů, ve kterých

• První sloupec obsahuje generátor toku při Möbiově akci (po stereografické projekci z Riemannovy sféry) jako reálné vektorové pole v Eukleidovské rovině.
• Druhý sloupec obsahuje odpovídající jednoparametrickou podgrupu Möbiovy transformace.
• Třetí sloupec obsahuje odpovídající jednoparametrickou podgrupu Lorentzovy transformace (obraz při našem homomorfismu předchozí jednoparametrické podgrupy).
• Čtvrtý sloupec obsahuje odpovídající generátor toku při Lorentzově akci jako reálné vektorové pole na prostoročasu Minkowského.

Všimněte si, že generátory jsou následující

• Dva parabolické (nulové rotace)
• Jeden hyperbolický (boost ve směru ∂_z)
• Tři eliptické (rotace postupně podle os x, y, z)

Vektorové pole na R2	Jednoparametrová podgrupa SL(2,C), reprezentující Möbiovy transformace	Jednoparametrová podgrupa SO+(1,3), reprezentující Lorentzovy transformace	Vektorové pole na R4
Parabolické
${\displaystyle \partial _{u}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\alpha \\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}={}&x(\partial _{t}+\partial _{z})+\\&(t-z)\partial _{x}\end{aligned}}}$
${\displaystyle \partial _{v}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&i\alpha \\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}={}&y(\partial _{t}+\partial _{z})+\\&(t-z)\partial _{y}\end{aligned}}}$
Hyperbolické
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(u\partial _{u}+v\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle X_{3}=z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\!}$
Eliptické
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-v\partial _{u}+u\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle X_{4}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}}$
${\displaystyle {\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\partial _{u}-uv\,\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle X_{5}=-x\partial _{z}+z\partial _{x}}$
${\displaystyle uv\,\partial _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle X_{6}=-z\partial _{y}+y\partial _{z}}$

Verifujeme jeden řádek této tabulky. Začneme od

${\displaystyle \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

Uplatnění exponenciální funkce:

${\displaystyle \exp \left({\frac {i\theta }{2}}\,\sigma _{2}\right)={\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}.}$

Tento prvek SL(2,C) reprezentuje jednoparametrickou podgrupu (eliptických) Möbiových transformací:

${\displaystyle \xi \mapsto \xi '={\frac {\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi -\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi +\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}.}$

Nyní

${\displaystyle \left.{\frac {d\xi '}{d\theta }}\right|_{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}.}$

Odpovídající vektorové pole na C (pohlížíme na něj jako na obraz S² při stereografické projekci) je

${\displaystyle -{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}\,\partial _{\xi }.}$

Pokud vyjádříme ${\displaystyle \xi =u+iv}$, dostaneme vektorové pole na R²

${\displaystyle -{\frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}}\,\partial _{u}-uv\,\partial _{v}.}$

Po návratu k našemu prvku SL(2,C), zapsáním akce ${\displaystyle X\mapsto PXP^{\dagger }}$ a seskupením členů dostaneme, že obrazem spinorového zobrazení je prvek SO⁺(1,3)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{pmatrix}}.}$

Derivování podle θ v θ=0, dává odpovídající vektorové pole na R⁴,

${\displaystyle z\partial _{x}-x\partial _{z}.\,\!}$

To je zjevně generátor rotace proti směru hodinových ručiček kolem osy y.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Lorentz group na anglické Wikipedii.

• Artin, Emil, 1957. Geometric Algebra. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-60839-4. Kapitola III popisuje ortogonální grupy O(p,q).
• Carmeli, Moshe, 1977. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. [s.l.]: McGraw-Hill, New York. ISBN 978-0-07-009986-9. Kanonické reference; kapitoly 1–6 popisují reprezentaci Lorentzovy grupy.
• Frankel, Theodore, 2004. The Geometry of Physics. 2. vyd. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53927-2. Vynikající nástroj pro Lieovy teorie, fibrované bandly, spinorial pokrytí a mnoho jiných témat.
• Šablona:Fulton-Harris Lecture 11 pro ireducibilní reprezentace SL(2,C).
• GELFAND, I.M.; MINLOS, R.A.; SHAPIRO, Z.Ya., 1963. Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications. New York: Pergamon Press.
• HALL, Brian C., 2015. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. 2. vyd. [s.l.]: Springer. (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 978-3319134666..
• Hall, G. S., 2004. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-1051-9. Kapitola 6 popisuje podalgebry Lieovy algebry Lorentzovy grupy.
• Hatcher, Allen, 2002. Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. Viz také online version [online]. [cit. 2005-07-03]. Dostupné online. Section 1.3 pěkně ilustruje diskuzi pokrývající prostory. Section 3D popisuje topologie rotační grupy.
• MISNER, Charles; THORNE, Kip S.; WHEELER, John, 1973. Gravitation. [s.l.]: W. H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0344-0. §41.3
• Naber, Gregory, 1992. The Geometry of Minkowski Spacetime. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0486432359. (Dover reprint vydání.) Vynikající reference na prostoročas Minkowského a Lorentzovy grupy.
• Needham, Tristan, 1997. Visual Complex Analysis. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853446-4. Kapitola 3 pro skvělé znázornění diskuze Möbiovy transformace.
• WEINBERG, S., 2002. The Quantum Theory of Fields. [s.l.]: Cambridge University Press. Dostupné online. ISBN 978-0-521-55001-7.
• WIGNER, E. P., 1939. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group. Annals of Mathematics. Roč. 40, čís. 1, s. 149–204. DOI 10.2307/1968551. JSTOR 1968551. Bibcode 1939AnMat..40..149W..