Lieova algebra

Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor ${\displaystyle V}$ nad tělesem ${\displaystyle F}$ spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru

${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]:V\times V\to V}$,

které pro všechna ${\displaystyle x,y,z\in V}$ splňuje vlastnosti:

• Alternativita,

${\displaystyle [x,x]=0}$.

• Jacobiho identita,

${\displaystyle [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}$.

Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.

Uvažujme libovolné dva prvky ${\displaystyle x,y\in V}$. S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát

${\displaystyle [x+y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,x]=[x,y]+[y,x]=0}$,

z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat

${\displaystyle [x,x]=-[x,x]}$,

z čehož plyne ${\displaystyle 2[x,x]=0}$, a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.

• Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou: ${\displaystyle [x,y]=0}$
• Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem: ${\displaystyle [{\vec {x}},{\vec {y}}]:={\vec {x}}\times {\vec {y}}}$

• matice ${\displaystyle n\times n}$ s nulovou stopou a komutátorem ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$
• antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem
• antihermitovské matice spolu s komutátorem
• funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou
• vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí
• Tečný prostor ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou ${\displaystyle [x,y]:=\mathrm {ad} (x)y}$, kde ${\displaystyle \mathrm {ad} \in \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$ je derivace zobrazení ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\mathrm {exp} (tx)}\in \mathrm {Gl} ({\mathfrak {g}})}$ v ${\displaystyle t=0}$. Této Lieovy algebře ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. V případě maticových grup je ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ pouze tečný prostor G a ${\displaystyle [x,y]}$ obyčejný komutátor matic.

• Sophus Lie