Akce grupy na množině

Nechť ${\displaystyle G\,\!}$ je grupa a ${\displaystyle A\,\!}$ neprázdná množina. Zobrazení ${\displaystyle \cdot :G\times A\rightarrow A\,\!}$ nazveme akcí grupy ${\displaystyle G\,\!}$ na množině ${\displaystyle A\,\!}$ (také působením ${\displaystyle G\,\!}$ na ${\displaystyle A\,\!}$) jestliže:

1. ${\displaystyle g_{1}\cdot (g_{2}\cdot a)=(g_{1}g_{2})\cdot a\,\!}$ pro všechna ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,a\in A\,\!}$
2. ${\displaystyle 1\cdot a=a\,\!}$ pro všechna ${\displaystyle a\in A\,\!}$ (kde ${\displaystyle 1\,\!}$ je neutrální prvek ${\displaystyle G\,\!}$)

Jinak řečeno prvek ${\displaystyle g_{1}\in G\,\!}$ působí na ${\displaystyle g_{2}\cdot a\in A\,\!}$ stejně, jako působí ${\displaystyle g_{1}g_{2}\in G\,\!}$ na ${\displaystyle a\in A\,\!}$.

Nechť ${\displaystyle G\,\!}$ působí na ${\displaystyle A\,\!}$ a pro pevně zvolené ${\displaystyle g\in G\,\!}$ označme ${\displaystyle \sigma _{g}\,\!}$ zobrazení ${\displaystyle \sigma _{g}:A\rightarrow A\,\!}$ dané předpisem ${\displaystyle a\mapsto g\cdot a\,\!}$. Pak platí:

1. pro libovolné ${\displaystyle g\in G\,\!}$ je ${\displaystyle \sigma _{g}\,\!}$ permutace na množině ${\displaystyle A\,\!}$,
2. zobrazení ${\displaystyle \phi :G\rightarrow \mathbb {S} _{A}\,\!}$ dané vztahem ${\displaystyle g\mapsto \sigma _{g}\,\!}$, je homomorfismus grup.

Zobrazení ${\displaystyle \phi \,\!}$ se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy ${\displaystyle G\,\!}$ na množině ${\displaystyle A\,\!}$.

Akce grupy ${\displaystyle G\,\!}$ na ${\displaystyle A\,\!}$ se nazývá triviální, resp. věrnou, jestliže ${\displaystyle g\cdot a=a\,\,\forall g\in G,a\in A\,\!}$, resp. reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení.

Jádro akce grupy ${\displaystyle G\,\!}$ na množině ${\displaystyle A\,\!}$ se nazývá množina ${\displaystyle J=\{g\in G|g\cdot a=a,\,\forall a\in A\}\,\!}$ (přičemž tato množina je shodná s ${\displaystyle \ker \phi \,\!}$).

Je-li pevně zvolen prvek ${\displaystyle a\in A\,\!}$, pak množinu ${\displaystyle G_{a}=\{g\in G|g\cdot a=a\}\,\!}$ nazýváme stabilizátor prvku ${\displaystyle a\,\!}$. Platí, že jádro akce je průnikem všech stabilizátorů (symbolicky ${\displaystyle J=\bigcap _{a\in A}G_{a}\,\!}$).

Stabilizátor prvku ${\displaystyle a\in A\,\!}$ tvoří podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupa této grupy.

Množina ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{a}=\{g\cdot a|g\in G\}\,\!}$ se nazývá orbita prvku ${\displaystyle a\,\!}$.

Akce grupy G se nazývá tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu (tj. ${\displaystyle \forall a,b\in A\exists g\in G:a=g\cdot b\,\!}$).

Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že ${\displaystyle |{\mathcal {O}}_{a}|=|G/G_{a}|\,\!}$.

Říkáme, že grupa ${\displaystyle G}$ má na ${\displaystyle A}$ tranzitivní akci, pokud pro každé ${\displaystyle a,b\in A}$ existuje ${\displaystyle g\in G}$ takové, že ${\displaystyle g\cdot a=b}$.

Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné ${\displaystyle a}$ a každé ${\displaystyle b\in A}$ existuje ${\displaystyle g\in G}$ takové, že ${\displaystyle g\cdot a=b}$ a ${\displaystyle G}$ má tedy jenom jednu orbitu.

Pokud má ${\displaystyle G}$ na množině ${\displaystyle A}$ tranzitivní akci, můžeme množinu ${\displaystyle A}$ reprezentovat jako homogenní prostor

${\displaystyle A\simeq G/G_{a}}$

kde ${\displaystyle G_{a}}$ je stabilizátor jednoho prvku ${\displaystyle a\in A}$ a ${\displaystyle G/G_{a}}$ je množina levých rozkladových tříd. Identifikace je ${\displaystyle gG_{a}\mapsto g\cdot a}$ a je jednoznačná,neboť

• Díky tranzitivní akci existuje pro každé ${\displaystyle a}$ příslušné ${\displaystyle g}$
• Pokud ${\displaystyle g_{1}\cdot a=g_{2}\cdot a}$ tak ${\displaystyle g_{2}^{-1}g_{1}a=a}$, tedy ${\displaystyle g_{2}^{-1}g_{1}\in G_{a}}$ a ${\displaystyle g_{1}G_{a}=g_{2}G_{a}}$.

Zobrazení ${\displaystyle G/G_{a}\to A}$ je tedy bijekce.

Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd ${\displaystyle G/G_{a}}$ se nazývá v geometrii homogenní prostor a tvoří základ tzv. Kleinovy geometrie. Například Eukleidovské geometrii jsou vlastní Eukleidova grupa Euc(n) všech rotací, zrcadlení a posunutí. Tato grupa má na Eukleidově prostoru tranzitivní akci a stabilizátor pevně daného bodu je grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových které bod zachovávají. Eukleidův prostor ${\displaystyle E(n)}$ dimenze ${\displaystyle n}$ tedy můžeme reprezentovat jako

${\displaystyle E(n)\simeq Euc(n)/O(n).}$