Norma (matematika)

Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je

• pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro a ∈ F a v ∈ V;
• subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, v ∈ V.

Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ V.

Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:

• p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.

Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.

• Každá norma je seminorma.
• Absolutní hodnota je norma na reálných číslech.
• Každá lineární forma f na vektorovém prostoru definuje seminormu x → |f(x)|.

Ilustrace jednotkových kružnic v různých normách.

Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).

Normy ||•||_α and ||•||_β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že

${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }}$

pro všechna x ∈ V. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||₁, ||•||₂ a ||•||_∞ jsou ekvivalentní na prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2},}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty },}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty }.}$

Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.

Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μ_C známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná

${\displaystyle \mu _{C}(x):=\inf\{\alpha$ :\alpha >0,x\in \alpha C\}.}

Pro tuto seminormu platí

${\displaystyle \{x:\mu _{C}(x)<1\}\subseteq C\subseteq \{x:\mu _{C}(x)\leq 1\}.}$

• normovaný lineární prostor
• metrický prostor
• Eukleidovský prostor
• determinant