Hlavní kružnice

Pro důkaz, že kratší oblouk hlavní kružnice je nejkratší cestou propojující dva body na povrchu koule, můžeme použít variační počet.

Uvažujme třídu všech regulárních cest z bodu ${\displaystyle p}$ do jiného bodu ${\displaystyle q}$. Zavedeme kulové souřadnice tak, aby ${\displaystyle p}$ byl severním pólem. Jakoukoli křivku na kouli, která neprotíná žádný pól (kromě koncových bodů), lze parametrizovat vztahem

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

za předpokladu, že umožníme, aby ${\displaystyle \phi }$ nabývalo libovolné reálné hodnoty. Délka infinitezimálního oblouku v těchto souřadnicích je

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Takže délka křivky ${\displaystyle \gamma }$ z ${\displaystyle p}$ do ${\displaystyle q}$ je funkcionálem křivky splňujícím vztah

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Podle Eulerovy–Lagrangeovy rovnice je ${\displaystyle S[\gamma ]}$ minimální právě tehdy když

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}$,

kde ${\displaystyle C}$ je konstanta nezávislá na ${\displaystyle t}$ a

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

Z první z těchto rovnic lze odvodit, že

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$.

Integrováním obou stran i uvažováním okrajových podmínek dostaneme reálné řešení ${\displaystyle C=0}$. Tedy ${\displaystyle \phi '=0}$ a ${\displaystyle \theta }$ může být jakákoli hodnota mezi 0 a ${\displaystyle \theta _{0}}$, což ukazuje, že křivka musí ležet na poledníku. V kartézských souřadnicích to je

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

což je rovina procházející počátkem, tj. středem koule.

Příklady hlavních kružnic na nebeské sféře jsou obzorník, nebeský rovník a ekliptika. Hlavní kružnice se také používají jako přesné aproximace geodézií na zemském povrchu pro leteckou nebo námořní navigaci (i když Země není dokonalá koule), i na kulových nebeských tělesech.

Rovník idealizované Země je hlavní kružnice a jakýkoli poledník s opačným poledníkem tvoří také hlavní kružnici. Existuje mnoho dalších hlavních kružnic, například ta, které dělí Zemi na polokouli země a polokouli vody. Každá hlavní kružnice rozděluje Zemi na dvě polokoule, a pokud hlavní kružnice prochází nějakým bodem, musí procházet také bodem k němu opačným.

Funkova transformace provádí integraci dané funkce podél všech hlavních kružnic koule.