Kleinova čtyřgrupa
Kleinova čtyřgrupa (také prostě Kleinova grupa, často značená V podle německého Vierergruppe) je grupa , direktní součin dvou kopií cyklické grupy řádu 2.
Historie
Název Vierergruppe jí dal Felix Klein ve své práci Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade z roku 1884.
Vlastnosti
Jedná se o nejmenší necyklickou grupu. Jediná další čtyřprvková grupa (až na izomorfismus) je cyklická grupa . Všechny prvky kromě neutrálního mají řád 2. Jedná se o komutativní (abelovskou) grupu.
Její Cayleyova tabulka je:
| * | 1 | a | b | ab |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | b | ab |
| a | a | 1 | ab | b |
| b | b | ab | 1 | a |
| ab | ab | b | a | 1 |
Kleinova grupa je grupou symetrie obdélníka nebo kosočtverce (které nejsou zároveň čtverce), skládá se z totožnosti, dvou osových souměrností a středové souměrnosti. Někdy se jí říká i grupa matrace, protože také určuje všechny způsoby, jak obrátit (obdélníkovou) matraci.
Kleinova čtyřgrupa se také vyskytuje jako normální podgrupa alternující grupy . Jejich faktor je tříprvková cyklická grupa , co souvisí s řešitelností rovnic 4. stupně pomocí radikálů (viz Galoisova teorie).
