Grupa izometrií

Grupa izometrií (anglicky isometry group) metrického prostoru je v matematice množina všech bijektivních izometrických zobrazení (tj. vzájemně jednoznačných zobrazení zachovávajících vzdálenost) metrického prostor na sebe sama, se skládáním zobrazení jako grupovou operací. Jeho neutrálním prvkem je identita.[1] Prvky grupy izometrií se někdy nazývají pohyby prostoru.

Každá grupa izometrií metrického prostoru je podgrupa izometrií. Ve většině případů reprezentuje možnou množinu symetrií objektů v prostoru nebo funkce definované na prostoru. Viz grupa symetrií.

Diskrétní grupa izometrií je taková grupa izometrií, že pro každý bod prostoru je množina jeho obrazů při izometrickém zobrazení diskrétní množinou.

V pseudoeukleidovském prostoru je metrika nahrazena izotropní kvadratickou formou; transformace zachovávající tuto formu se někdy nazývají „izometrie“ a jejich kolekce tvoří grupu izometrií pseudoeukleidovského prostoru.

Příklady

Grupa izometrií podprostoru metrického prostoru sestávající z bodů obecného trojúhelníka je triviální grupa. Podobný prostor pro rovnoramenný trojúhelník je cyklická grupa řádu dva, C₂. Totéž pro rovnostranný trojúhelník je D₃, dihedrální grupa řádu 6.
Grupa izometrií dvourozměrné koule je ortogonální grupa O(3).[2]

Grupa izometrií n-rozměrného Eukleidovského prostoru je Eukleidova grupa E(n).[3]
Grupa izometrií Poincarého diskového modelu hyperbolické roviny je projektivní speciální unitární grupa SU(1,1).
Grupa izometrií Poincarého modelu poloroviny hyperbolické roviny je PSL(2,R).
Grupa izometrií Minkowského prostoru je Poincarého grupa.[4]
Riemannovské symetrické prostory jsou důležitým případem, v němž grupa izometrií je Lieova grupa.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Isometry group na anglické Wikipedii.

BURAGO, Dmitri; BURAGO, Yuri; IVANOV, Sergei. A course in metric geometry. Providence, RI: American Mathematical Society, 2001. (Graduate Studies in Mathematics). Dostupné online. ISBN 0-8218-2129-6. S. 75..
BERGER, Marcel. Geometry. II. Berlin: Springer-Verlag, 1987. (Universitext). Dostupné online. ISBN 3-540-17015-4. DOI 10.1007/978-3-540-93816-3. S. 281..
OLVER, Peter J. Classical invariant theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. (London Mathematical Society Student Texts). Dostupné online. ISBN 0-521-55821-2. DOI 10.1017/CBO9780511623660. S. 53..
MÜLLER-KIRSTEN, Harald J. W.; WIEDEMANN, Armin. Introduction to supersymmetry. 2. vyd. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010. (World Scientific Lecture Notes in Physics). Dostupné online. ISBN 978-981-4293-42-6. DOI 10.1142/7594. S. 22..

Související články

Bodová grupa
Bodové grupy ve dvourozměrném prostoru
Bodové grupy v trojrozměrném prostoru
Pevné body grup izometrií v Eukleidovském prostoru

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] BURAGO, Dmitri; BURAGO, Yuri; IVANOV, Sergei. A course in metric geometry. Providence, RI: American Mathematical Society, 2001. (Graduate Studies in Mathematics). Dostupné online. ISBN 0-8218-2129-6. S. 75..

[2] BERGER, Marcel. Geometry. II. Berlin: Springer-Verlag, 1987. (Universitext). Dostupné online. ISBN 3-540-17015-4. DOI 10.1007/978-3-540-93816-3. S. 281..

[3] OLVER, Peter J. Classical invariant theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. (London Mathematical Society Student Texts). Dostupné online. ISBN 0-521-55821-2. DOI 10.1017/CBO9780511623660. S. 53..

[4] MÜLLER-KIRSTEN, Harald J. W.; WIEDEMANN, Armin. Introduction to supersymmetry. 2. vyd. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010. (World Scientific Lecture Notes in Physics). Dostupné online. ISBN 978-981-4293-42-6. DOI 10.1142/7594. S. 22..