Vlastní vektory a vlastní čísla

Vlastní vektor lineárního operátoru ${\displaystyle A}$ je takový nenulový vektor u, pro který existuje číslo ${\displaystyle \lambda }$ tak, že platí:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$.

Číslo ${\displaystyle \lambda }$ se nazývá vlastní číslo (též charakteristické číslo) operátoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a ${\displaystyle \mathbf {u} }$ vlastní vektor operátoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$ příslušný vlastní hodnotě ${\displaystyle \lambda }$.

V kvantové mechanice se často lze setkat se zápisem ${\displaystyle {\hat {A}}u=Au}$ anebo ${\displaystyle {\hat {A}}\,|u\rangle =A\,|u\rangle }$ kde ${\displaystyle {\hat {A}}}$ označuje operátor a A příslušné vlastní číslo. Operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ je často diferenciální operátor na nějakém prostoru funkcí nebo distribucí.

Nechť ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je zadaná reálná nebo komplexní čtvercová matice ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ je sloupcový vektor délky ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle \lambda }$ je reálné nebo komplexní číslo. Rovnice ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$, jejíž levou stranu chápeme jako násobení matice vektorem a pravou stranu jako násobení skaláru vektorem, obsahuje známou matici ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a neznámé veličiny ${\displaystyle \mathbf {u} }$ a ${\displaystyle \lambda }$. Tato maticová rovnice se dá přepsat jako soustava lineárních rovnic

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}=\lambda u_{i}}$

pro ${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}$.

Proměnnou ${\displaystyle \mathbf {u} }$ na pravé straně lze pomocí Kroneckerova delta vyjádřit jako

${\displaystyle u_{i}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\delta _{ij}}$

Dosazením do předchozího vztahu pak dostaneme

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}(a_{ij}-\lambda \delta _{ij})u_{j}=0}$,

což lze vyjádřit maticově jako

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )\cdot \mathbf {u} =\mathbf {0} }$,

kde ${\displaystyle \mathbf {E} }$ je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlížet jako na homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic o ${\displaystyle n}$ neznámých. Ta má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy, když je matice soustavy singulární, tzn. platí

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )=0}$,

což lze rozepsat

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}}=0}$.

Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako sekulární rovnice, protože dříve sloužily k výpočtům pohybů planet (jejich odchylek od eliptických drah).

Polynom na levé straně této rovnice se nazývá charakteristický polynom matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Proto má matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ vždy ${\displaystyle n}$ vlastních čísel, z nichž se některá mohou opakovat. Počet opakování, tj. násobnost kořene charakteristického polynomu nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla.

Vlastní vektory matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ vyhovují rovnici ${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )\cdot \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ pro jednotlivá vlastní čísla.

Libovolný nenulový násobek vlastního vektoru je rovněž vlastním vektorem, není však považován za jiný vlastní vektor. Ke kořenu charakteristického polynomu násobnosti ${\displaystyle m}$ existuje nejvýše ${\displaystyle m}$ vzájemně lineárně nezávislých vlastních vektorů. Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících vlastnímu číslu ${\displaystyle \lambda }$, tj. ${\displaystyle \mathrm {dim} ({\mathcal {N}}(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} ))}$ se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla.

Vztah mezi algebraickou a geometrickou násobností lze snadno nahlédnout pomocí Jordanova rozkladu matice.

• Nula je vlastním číslem matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ právě tehdy, když je matice singulární. Je-li matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ regulární, pak nula není jejím vlastním číslem.
• Je-li matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ symetrická a reálná (tj. obsahuje pouze reálná čísla), pak všechna její vlastní čísla jsou reálná.
• Jestliže k matici ${\displaystyle \mathbf {A} }$ existuje inverzní matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$, pak ${\displaystyle \lambda }$ je vlastním číslem matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ tehdy, je-li ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\lambda }}}$ vlastním číslem matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$. Přitom platí, že vlastní vektory matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ odpovídající vlastnímu číslu ${\displaystyle \lambda }$ jsou stejné jako vlastní vektory matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ odpovídající vlastnímu číslu ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$.
• Pokud má matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ vlastní číslo ${\displaystyle \lambda }$ a odpovídající vlastní vektor ${\displaystyle \mathbf {u} }$, pak matice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}}$ má vlastní číslo ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ a jemu odpovídající vlastní vektor je ${\displaystyle \mathbf {u} }$.
• Je-li vlastním číslem reálné matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ komplexní číslo ${\displaystyle z}$, pak je také komplexně sdružené číslo ${\displaystyle {\overline {z}}}$ vlastním číslem matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$.
• Je-li lineární operátor ${\displaystyle {\hat {A}}}$ hermitovský, jsou všechna vlastní čísla reálná.

Jako spektrum omezeného lineárního operátoru ${\displaystyle \mathbf {A} }$ se označuje množina komplexních čísel ${\displaystyle \lambda }$, pro které není operátor ${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {E} )}$ invertovatelný. Množina všech vlastních čísel tvoří část spektra operátoru. Tato část se nazývá bodové (diskrétní) spektrum. V případě konečnorozměrných operátorů (čtvercových matic konečných rozměrů) je celé spektrum bodové. U nekonečněrozměrných operátorů mohou existovat i další části spektra, které nejsou bodové.

Pokud ke každému vlastnímu číslu ${\displaystyle A_{n}}$ přísluší právě jedna vlastní funkce ${\displaystyle u_{n}}$, pak říkáme, že operátor má prosté (nedegenerované) spektrum.

Pokud některým vlastním číslům ${\displaystyle A_{n}}$ přísluší několik lineárně nezávislých vlastní funkcí ${\displaystyle u_{n\mu }}$, tzn.

${\displaystyle {\hat {A}}u_{n\mu }=A_{n}u_{n\mu }}$,

kde ${\displaystyle \mu =1,2,...,g_{n}}$, pak hovoříme o degenerovaném spektru. Počet lineárně nezávislých funkcí ${\displaystyle g_{n}}$ se nazývá násobností (stupněm) degenerace.

• Determinant
• Matice
• Operátor
• Podobnost matic
• Schurův rozklad
• Soustava lineárních rovnic
• Spektrum matice
• Vlastní frekvence