Kvadratická forma

Nechť ${\displaystyle \xi :Y\times Y\rightarrow T}$ je bilineární forma na vektorovém prostoru ${\displaystyle Y}$ nad tělesem ${\displaystyle T}$. Pak funkce

${\displaystyle f:Y\rightarrow T}$

${\displaystyle \mathbf {h} \mapsto \xi ({\textbf {h}},{\textbf {h}})}$

se nazývá kvadratická forma na ${\displaystyle Y}$.

Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.

${\displaystyle f(t{\textbf {h}})=t^{2}f({\textbf {h}})}$

pro všechna ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle {\textbf {h}}\in Y}$.

Nejběžnější kvadratická forma je

${\displaystyle f({\textbf {h}})={\textbf {h}}\cdot {\textbf {h}}=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+...+h_{n}^{2}=||{\textbf {h}}||^{2}}$

Kvadratickou formu ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ můžeme ve složkách rozepsat jako

${\displaystyle f(\mathbf {h} )=\sum _{i,j=1}^{d}a_{ij}h_{i}h_{j},}$

kde ${\displaystyle a_{ij}}$ jsou složky symetrické matice typu ${\displaystyle d\times d}$.

Kvadratická forma ${\displaystyle f:Y\rightarrow \mathbb {R} }$ na euklidovském prostoru ${\displaystyle Y}$ se nazývá

1. pozitivně definitní, jestliže ${\displaystyle \forall {\textbf {h}}\in Y}$ platí ${\displaystyle f({\textbf {h}})>0}$
2. pozitivně semidefinitní, jestliže ${\displaystyle \forall {\textbf {h}}\in Y}$ platí ${\displaystyle f({\textbf {h}})\geq 0}$
3. negativně definitní, jestliže ${\displaystyle \forall {\textbf {h}}\in Y}$ platí ${\displaystyle f({\textbf {h}})<0}$
4. negativně semidefinitní, jestliže ${\displaystyle \forall {\textbf {h}}\in Y}$ platí ${\displaystyle f({\textbf {h}})\leq 0}$
5. indefinitní, jestliže ${\displaystyle \exists \mathbf {h_{1}} ,\mathbf {h_{2}} \in Y}$ taková, že ${\displaystyle f(\mathbf {h_{1}} )>0}$ a ${\displaystyle f(\mathbf {h_{2}} )<0}$.

• HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139. (česky)
• BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197. (česky)
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337. (česky)

• Bilineární forma
• Binární kvadratická forma
• Lineární forma
• Lineární zobrazení
• Multilineární forma

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kvadratická forma na Wikimedia Commons