Symplektický vektorový prostor

Dvojici ${\displaystyle (V,\omega )}$ nazveme symplektický vektorový prostor, pokud ${\displaystyle V}$ je vektorový prostor a ${\displaystyle \omega }$ je bilineární antisymetrická nedegenerovaná forma.

Pokud ${\displaystyle V}$ je konečné dimenze, je slovo nedegenerovanost jednoznačné. Pokud je ${\displaystyle V}$ nekonečné dimenze, označuje v literatuře slovo nedegenerovanost převážně následující dva pojmy. Bilineární formu ${\displaystyle \omega :V\times V\to \mathbb {R} }$ nazveme nedegenerovanou, pokud ${\displaystyle o:V\to V^{*}}$ definované předpisem ${\displaystyle o(v)w:=\omega (v,w)}$ je izomorfizmus vektorových prostorů. Druhé pojetí definuje ${\displaystyle \omega }$ nedegenerovanou, pokud ${\displaystyle \omega (v,w)=0}$ pro každé ${\displaystyle w\in V}$, pak je ${\displaystyle v=0}$

(Většinou z hlediska aplikací rozdílnost těchto dvou pojmů není podstatná.)

Pokud je symplektický vektorový prostor konečné dimenze, potom dimenze V je sudá.

Nechť ${\displaystyle V}$ je konečné dimenze ${\displaystyle 2n}$. Bázi ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{2n}}$ prostoru ${\displaystyle V}$ nazveme symplektickou, pokud ${\displaystyle \omega (e_{i},e_{j})=1,}$ pokud ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ a ${\displaystyle j=n+i}$; ${\displaystyle \omega (e_{i},e_{j})=-1}$, pokud ${\displaystyle i=n+1,\ldots ,2n}$ a ${\displaystyle j=2n-i}$ a pro ostatní dvojice ${\displaystyle e_{i},e_{j}}$ je ${\displaystyle \omega (e_{i},e_{j})=0.}$

(Někdy je znaménková konvence v literatuře opačná k té zvolené zde.)

Tato věta je paralelní k větě o setrvačnosti kvadratických forem a je speciální formou (důsledkem) Darbouxovy věty pro hladké variety.

Tvrzení: Pro každý symplektický vektorový prostor existuje jeho symplektická báze.

Grupou symetrie symplektického vektorové prostoru je tzv. symplektická grupa, která je označována ${\displaystyle Sp(V,\omega ).}$ Přesněji definujeme ${\displaystyle Sp(V,\omega ):=\{g\in Aut(V);\omega (gv,gw)=\omega (v,w)\forall v,w\in V\}.}$

Tvrzení: Symplektická grupa je Lieova grupa, pokud ${\displaystyle V}$ je reálný nebo komplexní vektorový prostor.

• Symplektická varieta
• Hamiltonova mechanika: Fázový prostor spolu s formou ${\displaystyle dp_{i}dq^{i}}$ je symplektický vektorový prostor.

• Arnold, V., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997.
• Marsden, J., Ratiu, T. S., Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, Texts in applied Mathematiocs, 1992.
• Thirring, W., Lehrbuch der mathematischen Physik: Klassische dynamische Systeme, Springer Verlag Wien - New York.