Afinní zobrazení

Při afinitě se bod ${\displaystyle P}$ ležící na přímce ${\displaystyle r}$ mezi body ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ zobrazí do bodu ${\displaystyle P^{\prime }}$, který leží na přímce ${\displaystyle r^{\prime }}$ mezi body ${\displaystyle A^{\prime }}$ a ${\displaystyle B^{\prime }}$ (pokud jsou různé), které odpovídají bodům ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$.

Při afinitě je poměr délek dvou rovnoběžných úseček roven poměru délek jejich obrazů. Z toho např. vyplývá, že střed úsečky se zobrazí jako střed úsečky, těžiště trojúhelníka bude odpovídat těžišti trojúhelníka apod.

Mezi afinní zobrazení patří podobné zobrazení.

Invertibilní afinní zobrazení zachovávají (afinní) typ kvadriky, tj. převádí elipsu na elipsu (anebo kružnici), parabolu na parabolu a hyperbolu na hyperbolu. Nezachovávají ale metrické vlastnosti útvarů.

Množina všech afinit afinního prostoru tvoří grupu, která se nazývá afinní grupa. V n rozměrném prostoru se zvolenou soustavou souřadnic se dá realizovat jako množina matic dimenze n+1

${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)}$

kde M je nějaká regulární matice dimenze n a v vektor. Akce této matice na bod x je Mx+v.

Afinní grupa je generována základními afinitami. Každou afinitu n-rozměrného afinního prostoru lze složit z nejvýše n+1 základních afinit. Např. každou afinitu v rovině lze rozložit na nejvýše 3 osové afinity.

V případě Euklidovského prostoru obsahuje příslušná afinní grupa Euklidovskou grupu (tj. grupu shodností, např. posunutí, otáčení, zrcadlení) jako svoji vlastní podgrupu.

Afinní transformace jsou jedněmi z nejčastěji používaných operací v počítačové grafice.

• BOČEK L., KOČANDRLE M., 1980. Geometrie I. Praha: SPN.