Vektorové pole
Vektorové pole je v matematice a fyzice (zpravidla spojitá a dostatečně hladká) funkce přiřazující každému bodu prostoru vektor. V klasické fyzice jsou vektory obvykle umístěny v Euklidovském prostoru, ve speciální relativitě v Minkowského prostoru, obecněji může jít o jakoukoliv hladkou varietu.
![](../I/Vektorove_pole.gif)
Ve fyzice se užívá k popisu toho, jak se daná vektorová veličina mění bod od bodu. Příkladem může být pole rychlostí kapaliny v jednotlivých bodech, nebo vektorové pole síly v gravitačním poli.
Matematicky se vektorové pole na (hladké) varietě definuje jako zobrazení mezi danou varietou a jejím tečným bandlem. Přesněji řečeno, takto se definuje tečné vektorové pole. V moderní geometrii se často pod pojmem vektorové pole rozumí jakákoliv sekce vektorového bundlu (takto obecná definice zahrnuje i spinorová nebo tensorová pole na varietách).
Definice
Obecné vektorové pole
Mějme hladkou varietu M, pak vektorovým polem W na M nazveme zobrazení
kde je tečný prostor M v bodě x.
Hladké vektorové pole
Řekneme, že vektorové pole W je hladké, pokud pro každou hladkou funkci f na M, je opět hladkou funkcí na M. Ekvivalentně v lokálních souřadnicích na M: vektorové pole nazveme hladké na , jestliže všechny funkce jsou hladké na .
Transformace pole
Ve fyzice se obvykle zapisuje pole pomocí souřadnic. Někdy je potřebné přejít do nových souřadnic, ve kterých bude zápis vypadat jinak. Předpokládejme, pro obecnost, že máme lokální souřadnice a vektory vyjadřujeme jako tečné vektory, t.j. . Nechť je pole zapsáno v původních souřadnicích jako , t.j. je reprezentováno funkcemi (což jsou souřadnice vektorů). Nechť jsou nové souřadnice a nechť bod se souřadnicemi má v starých souřadnicích zápis kde je homeomorfizmus. Pak v nových souřadnicích se dá pole zapsat jako
Ve fyzice se obvykle předpokládá, že pokud jsme schopni vektorové pole nějak měřit nebo počítat z jiných veličin, pak změníme pozorovatele takovým způsobem, aby se „fyzikální zákony“ nezměnily (například v klasické fyzice je to posunutí, otočení a zrcadlení pozorovatele, ve speciální relativitě Poincarého transformace), pak by pozorovatel v nových souřadnicích měl být schopen změřit nebo spočíst to samé pole (třebaže v souřadnicích jinak vyjádřené).