Náhodná veličina

Formální definice zahrnuje i agregované náhodné proměnné, jako jsou náhodné vektory, náhodné matice, náhodné posloupnosti a náhodné procesy.

Nechť:

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ je pravděpodobnostní prostor; to znamená, že
  • ${\displaystyle \Omega }$ je libovolná neprázdná množina (množina elementárních jevů zvaná též výběrový prostor),
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je libovolný systém podmnožin ${\displaystyle \Omega }$, který tvoří ${\displaystyle \sigma }$-algebru, a
  • ${\displaystyle P}$ je pravděpodobnost, čili míra na ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ (tj. zobrazení, které každé podmnožině ${\displaystyle \Omega }$, která je zároveň prvkem ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, přiřadí nezáporné reálné číslo), která je normovaná tak, že ${\displaystyle P(\Omega )=1}$
• ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}})}$ je měřitelný prostor s borelovskou ${\displaystyle \sigma }$-algebrou podmnožin ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$; zpravidla se jako ${\displaystyle E}$ používá množina všech reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nebo nějaká její vhodná podmnožina.

Náhodnou veličinou pak nazýváme každé zobrazení z prostoru elementárních jevů ${\displaystyle \Omega }$ do měřitelného prostoru ${\displaystyle E}$, tj. ${\displaystyle X:\Omega \to E}$, pokud je měřitelné, t.j. pokud pro každou množinu ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ platí, že ${\displaystyle \lbrace \omega$ ;\omega \in \Omega ,X(\omega )\in B\rbrace \in {\mathcal {F}}} .

Pro hodnoty jednoduché náhodné veličiny lze používat reálná čísla. Pak lze předchozí definici upravit tak, že ${\displaystyle X}$ je náhodná veličina právě tehdy, když pro každé reálné číslo ${\displaystyle x}$ platí ${\displaystyle \lbrace \omega$ ;\omega \in \Omega ,X(\omega )<x\rbrace \in {\mathcal {F}}} (nerovnost může být i neostrá nebo obrácená).

V praxi se příliš neohlížíme na to, aby množina náhodných jevů byla ${\displaystyle \sigma }$-algebrou a do definice náhodné veličiny nezahrnujeme pravděpodobnostní míru. Pak může být definice následující:

Je-li Ω výběrový prostor přiřazený k výsledkům určitého pokusu, pak náhodná veličina, kterou označíme X, je funkce, která prvkům ω výběrového prostoru Ω přiřazuje reálná čísla x, kde x = X (ω).[1]

Náhodné veličiny se označují velkými písmeny latinské abecedy (např. X, Y) a jejich hodnoty malými písmeny (např. x, y).[1]

Jedna z nejdůležitějších charakteristik sloužící pro popis diskrétní náhodné veličiny je střední hodnota označená E (X), která je definovaná následujícím vzorcem:

${\displaystyle E(X)=\sum _{x_{k}}x_{k}*P(X=x_{k})}$

Výpočet se provádí tak, že se vynásobí hodnoty diskrétní náhodné veličiny jimi příslušnými hodnotami pravděpodobnostní funkce, a poté se tyto součiny sečtou. Rozlišujeme geometrickou a statistickou interpretaci střední hodnoty. Geometricky se střední hodnota znázorňuje jako bod na ose reálných čísel, na níž jsou hodnoty náhodné veličiny. Podle statistické interpretace představuje střední hodnota číslo, kolem něhož kolísají výběrové průměry vypočtené ze sérií pozorovaných hodnot náhodné veličiny.[1]

Výběrový průměr, který nese označení ${\displaystyle {\bar {x}}}$, se počítá dle vzorce:

${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}},}$

kde x_i jsou hodnoty náhodné veličiny X

a n je počet pokusů.

Pokud opakujeme více sérií pokusu, docházíme ke zjištění, že výběrové průměry kolísají kolem střední hodnoty.

Rozptyl se značí D (X) a vyjadřuje velikost odchylek hodnot diskrétní náhodné veličiny X od její střední hodnoty, přičemž bere v úvahu, jak je pravděpodobnost v těchto bodech rozdělena. Rozptyl se vypočítá následovně:

${\displaystyle D(X)=\sum _{x_{k}}{x_{k}}^{2}P(X=x_{k})-[E(X)]^{2}.}$

Samotnou hodnotu rozptylu určíme tak, že vypočteme součiny kvadrátů hodnot diskrétní náhodné veličiny s jimi příslušnými hodnotami pravděpodobnostní funkce a potom součiny sečteme. Od získaného součtu odečteme kvadrát střední hodnoty.[1]

Jelikož rozptyl má rozměr kvadrátu, je směrodatná odchylka, značená σ (X) vhodnějším vyjádřením charakteristiky dané náhodné veličiny, protože se vypočítá jako odmocnina z rozptylu D (X).

${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {D(X)}}.}$

Směrodatná odchylka vyjadřuje, o kolik je hodnota náhodné veličiny vzdálena od střední hodnoty.[1]

Toto rozložení náhodných veličin lze specifikovat jako rozložení náhodných veličin X, u kterých je známá pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu.[2]

Toto rozdělení tedy skýtá možné dva výsledky pokusu (úspěch a neúspěch). Pokud jde o úspěch nabývá náhodná veličina hodnoty 1. Pokud se jedná o nepříznivý výsledek nabývá náhodná veličina hodnoty 0.[3]

${\displaystyle P(A)=P(X=1)=p}$

${\displaystyle P(A)=P(X=0)=1-p}$ [3]

Toto rozdělení udává rozdělení náhodných veličin jako úspěchů v posloupnosti n opakovaných nezávislých pokusech. Pravděpodobnost výskytu jevu je zde stále stejná.[2]

Toto rozdělení tedy označujeme jako Bi (n,p), což naznačuje n náhodných pokusů při p pravděpodobnosti úspěchu v každém pokusu.[3]

${\displaystyle P[X=x]={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}}$, kde x = 0, 1 [3]

Zde se vychází z Bernoulliova pokusu, který spočívá v tom, že v daném náhodném pokusu mohou nastat pouze dva stavy: A, A s pravděpodobností p, 1−p. To lze modelovat tzv. binární náhodnou proměnnou Y, pro kterou platí: P(Y = 1) = p a P(Y = 0) = 1−p. Platí:[3]

${\displaystyle E(Y)=1.p+0.(1-p)=p}$

${\displaystyle D(Y)=E(Y-p)^{2}=p.(1-p)^{2}+(1-p)p^{2}=(1-p).p}$ [3]

Náhodná proměnná X vznikne jako součet n nezávislých binárních proměnných Y_i s hodnotami 0 nebo 1, které mají všechny stejné rozdělení určené parametrem p:[3]

Z tohoto vyplývají i určité charakteristiky tohoto rozdělení.

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=np}$

${\displaystyle \operatorname {D} (X)=np(1-p)}$ [3]

Toto rozdělení Hg (N,A,n) předpokládá, že v souboru N prvků je A prvků označeno; při náhodném pokusu náhodně vybereme n prvků (bez vracení). Náhodnou veličinou je počet označených prvků z n vybraných.

Zápis pak vypadá takto:[2]

${\displaystyle \operatorname {P} (X=x)={\begin{cases}{{{A \choose x}{{N-A} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}&{\text{pro }}x\in \langle {\text{max}}(0,A-N+n),...,{\text{min}}(A,n)\rangle \\0&{\text{jinak.}}\end{cases}}}$

Vlastnosti tohoto rozdělení tedy lze vyjádřit tímto způsobem:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {n\cdot A}{N}}}$

${\displaystyle \operatorname {D} (X)=n{\frac {A}{N}}\left(1-{\frac {A}{N}}\right)\left({\frac {N-n}{N-1}}\right)}$

Poissonovo rozdělení udává svou náhodnou veličinou počet výskytů, jež nastanou v nějakém určitém časovém intervalu. Parametr lambda vyjadřuje střední hodnotu počtu výskytů v daném intervalu.

Toto rozdělení se používá hlavně tam, kde je počet výskytů vzácný, neobvyklý.[2]

${\displaystyle P(X=x)={\frac {\lambda ^{x}}{x!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }}$ v daném jednotkovém úseku, kde x = 0,1,2,... ; ${\displaystyle \lambda >0}$ je parametr.[3]

Vlastnosti rozdělení vypadají takto:

${\displaystyle E(X)=\lambda }$

${\displaystyle D(X)=\lambda }$ [3]

Spojitá náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení, jestliže její hustota pravděpodobnosti f (x) a distribuční funkce F (x) jsou zadány předpisy:

${\displaystyle \operatorname {f} (x)={\begin{cases}{1 \over {b-a}}&{\text{pro }}x\in \langle {\text{a}},b\rangle ,\\0&{\text{jinak.}}\end{cases}},F(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{pro }}x<{\mbox{a}},\\{x-a \over {b-a}},&{\mbox{pro }}x\in \langle {\text{a}},b\rangle ,\\1,&{\mbox{pro }}x>{\mbox{b}}.\end{matrix}}\right.}$

Rovnoměrným rozdělením se řídí takové náhodné veličiny, pro něž pravděpodobnost padnutí do jistého podintervalu zadaného intervalu 〈a,b〉 je úměrná délce tohoto podintervalu a nezávisí na jeho umístění v intervalu 〈a,b〉.[4]

Rovnoměrné rozdělení popisuje například chyby při zaokrouhlování čísel, doby čekání na uskutečnění jevu, který se může vyskytnout v časových intervalech pevně stanovené délky, apod[4].

Střední hodnota a rozptyl rovnoměrného rozdělení jsou:

${\displaystyle E(X)={\frac {a+b}{2}},\ D(X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}.}$

Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením:

Hustota pravděpodobnosti

Distribucni funkce

Spojitá náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ a σ, což se označuje N (µ,σ²), jestliže jsou její hustota pravděpodobnosti f (x) a distribuční funkce F (x) pro x ∈ (-∞,∞) dány předpisy:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},F(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\mathrm {d} t}.}$

Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení jsou:

${\displaystyle E(X)=\mu ,D(X)=\sigma ^{2}.}$

Křivka znázorňující hustotu pravděpodobnosti normálního rozdělení se nazývá Gaussova křivka. Charakteristickými rysy této křivky je to, že je symetrická kolem svislé přímky procházející bodem μ, v němž má funkce f (x) globální maximum, a ve vzdálenostech 3 σ vlevo a vpravo od bodu μ se téměř dotýká osy x[4].

Graf distribuční funkce F (x) normálního rozdělení a Gaussova křivka:

Distribuční funkce

Gaussova křivka

Normální rozdělení je nejdůležitějším spojitým rozdělením, protože jej mají mnohé náhodné veličiny, například chyby měření, rozměry výrobků při hromadné výrobě, mnohé jevy ve fyzice, v biologii a medicíně a podobně. Obecně lze říci, že je použitelné všude tam, kde hodnoty náhodné veličiny jsou ovlivněny působením velkého počtu nepatrných vzájemně nezávislých nebo slabě závislých náhodných vlivů. Jeho význam spočívá také v tom, že se jím dají za určitých podmínek aproximovat i jiná rozdělení, jak diskrétních, tak i spojitých náhodných veličin.

Při výpočtech úloh se spojitými náhodnými veličinami, které mají normální rozdělení, se tato rozdělení liší svými parametry µ a σ. Pro usnadnění výpočtů je vhodné tyto náhodné veličiny normovat, což se provede tak, že od hodnot náhodné veličiny se odečte její střední hodnota µ a rozdíl se vydělí směrodatnou odchylkou σ. Vznikne tak normovaná náhodnou veličinu, označená U, kde

${\displaystyle U={\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

Jestliže náhodná veličina X má normální rozdělení N (µ,σ²), pak jejím normováním vznikne náhodná veličinu U mající normované normální rozdělení, které se označí N(0,1), takže má náhodná veličina U střední hodnotu rovnu nule a rozptyl roven jedné.

Distribuční funkce normované náhodné veličiny U, která je označena FN(u), je pak vyjádřena integrálem:

${\displaystyle F_{N}(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{u}e^{\frac {t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t.}$

Často řešenou úlohou je určení pravděpodobnosti, že náhodná veličina X s normálním rozdělením N(µ,σ²) nabude některé hodnoty z intervalu, jehož krajní body jsou x₁ a x₂. Tuto pravděpodobnost lze vypočíst pomocí vzorce:

${\displaystyle P(x_{1}<X<x_{2})=F_{N}\left({\frac {x_{2}-\mu }{\sigma }}\right)-F_{N}\left({\frac {x_{1}-\mu }{\sigma }}\right).}$

Protože náhodná veličina X je spojitá, nezáleží tato pravděpodobnost na tom, zda jsou krajní body intervalu do výpočtu zahrnuty nebo ne.

K důležitým vlastnostem náhodné veličiny, mající normální rozdělení, patří pravidlo tří sigma, podle něhož je 99,73 % jejích hodnot v intervalu (μ-3σ,μ+3σ). V tomto intervalu jsou tak prakticky všechny její hodnoty. Pravidlo tří sigma lze odvodit s použitím vzorce takto[4]:

$${\displaystyle P(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )=F_{N}(3)-F_{N}(-3)=2F_{N}(3)-1=0,9973.}$$

Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametry A a δ, což se značí E(A,δ), kde δ > 0, jestliže její hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce jsou dány předpisy[4]:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\delta }}e^{\frac {x-A}{\delta }},&{\mbox{pro }}x>A,\\0,&{\mbox{pro }}{\mbox{ jiná x}},\end{matrix}}\right.F(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{\frac {x-A}{\delta }},&{\mbox{pro }}x>A,\\0,&{\mbox{pro }}{\mbox{ jiná x}}.\end{matrix}}\right.}$

Graf hustoty pravděpodobnosti a distribuční funkce:

Hustota pravděpodobnosti

Distribucni funkce

Střední hodnota a rozptyl exponenciálního rozdělení jsou:

${\displaystyle E(X)=A+\delta }$

${\displaystyle D(X)=\delta ^{2}}$

Význam parametru A je v tom, že před touto hodnotou se hodnoty náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením nemohou vyskytnout.

Exponenciální rozdělení se používá především v teorii hromadné obsluhy a teorii spolehlivosti. Náhodnou veličinou X bývá obvykle doba, během níž nastane sledovaný jev, například doby mezi poruchami přístroje nebo doby mezi příchody zákazníků do opravny. V některých případech, jako je například čekání na poruchu přístroje, se náhodná veličina X nazývá „dobou života“ tohoto přístroje.

Exponenciální rozdělení se někdy nazývá rozdělení bez paměti, což lze vyjádřit následovně: Pravděpodobnost, že zařízení, které pracovalo bez poruchy po dobu a, bude pracovat bez poruchy ještě další dobu x, je rovna pravděpodobnosti, že zařízení, které dosud nebylo v provozu, bude pracovat bez poruchy aspoň x hodin, tedy jakoby „zapomnělo“ již odpracovanou dobu.

Pro A = 0 lze vyjádřit tuto vlastnost vyjádřit následovně[4]:

${\displaystyle P(X>a+x|X>a)=P(X>x)}$

Exponenciální rozdělení je z těchto důvodů vhodné k popisu rozdělení doby života těch zařízení, u nichž dochází k poruše ze zcela náhodných vnějších příčin, nikoliv například vlivem stárnutí materiálu.

náhled Logaritmicko-normální rozdělení (stručně lognormální rozdělení) spojité náhodné veličiny se používá mimo jiné při popisu velikosti škody při živelních událostech a různých haváriích a jako model pro rozdělení velikosti platů v některých organizacích.

Spojitá náhodná veličina X má lognormální rozdělení s parametry µ a σ, což se značí LN(µ,σ²), jestliže její hustota pravděpodobnosti f(x) a distribuční funkce F(x) jsou pro x> 0 dány předpisy[4]:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma x{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {{(lnx-\mu )}^{2}}{2\sigma ^{2}}}},F(X)=F_{N}\left({\frac {lnx-\mu }{\sigma }}\right).}$

Hustoty log-normálního rozdělení

Střední hodnota a rozptyl lognormálního rozdělení jsou:

${\displaystyle E(X)=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}},D(X)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1).}$

Jsou-li známy hodnoty E(X) a D(X) lognormálního rozdělení, pak lze parametry µ a σ tohoto rozdělení určit pomocí těchto vzorců:

${\displaystyle \sigma ^{2}={\mbox{ ln }}\left[1+{\frac {D(X)}{\left[E(X)\right]^{2}}}\right];\mu ={\mbox{ ln }}E(X)-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}.}$

• Teorie pravděpodobnosti
• Náhodný jev
• Matematická statistika
• Rozdělení pravděpodobnosti (též rozložení pravděpodobnosti)
• Hustota rozdělení pravděpodobnosti
• Pravděpodobnostní funkce
• Distribuční funkce

• Obrázky, zvuky či videa k tématu náhodná veličina na Wikimedia Commons