Normální rozdělení

Normální rozdělení pravděpodobnosti s parametry ${\displaystyle \mu }$ a ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, pro ${\displaystyle -\infty <\mu <\infty }$ a ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$, je pro ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru Gaussovy funkce

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{(x-\mu )}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$.

Normální rozdělení se většinou značí ${\displaystyle \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$. Rozdělení ${\displaystyle \operatorname {N} (0,1)}$ bývá označováno jako normované (nebo standardizované) normální rozdělení. Normované normální rozdělení má tedy hustotu pravděpodobnosti

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$.

Grafy hustot normálního rozdělení s různými charakteristikami…

…a grafy odpovídajících distribučních funkcí.

Střední hodnota normálního rozdělení je

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

Normální rozdělení má rozptyl

${\displaystyle \operatorname {D} (X)=\sigma ^{2}}$

Pro medián dostaneme

${\displaystyle x_{0,5}=\mu }$

Koeficient šikmosti i koeficient špičatosti normálního rozdělení jsou nulové, tj.

${\displaystyle \gamma _{1}=0}$

${\displaystyle \gamma _{2}=0}$

Momentovou vytvořující funkci normálního rozdělení lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle m(z)=\mathrm {e} ^{z\mu +{\frac {z^{2}\sigma ^{2}}{2}}}}$

Pro přirozená čísla ${\displaystyle k}$ lze centrální momenty psát jako

${\displaystyle \mu _{2k-1}=0}$

${\displaystyle \mu _{2k}={\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}\sigma ^{2k}}$

Distribuční funkcí normálního rozdělení je

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{(t-\mu )}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\;\mathrm {d} t}$.

Distribuční funkci normálního rozdělení nelze vyjádřit elementárními funkcemi. Její hodnoty lze stanovit numericky (viz numerická integrace) nebo po transformaci ${\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}}$ na rozdělení s ${\displaystyle \mu =0}$ a ${\displaystyle \sigma =1}$ hodnotu odečíst z tabulek (viz například ).

Máme-li ${\displaystyle s}$-rozměrný náhodný vektor ${\displaystyle X}$, jehož sdružená hustota pravděpodobnosti má tvar

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{s})={\frac {1}{\sqrt {{(2\pi )}^{s}{\left|\mathbf {C} \right|}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } \right)}^{T}\mathbf {C} ^{-1}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } \right)}}}$

pro ${\displaystyle -\infty <x_{i}<\infty }$, ${\displaystyle i=1,2,...,s}$, kde ${\displaystyle \mathbf {C} }$ je symetrická, pozitivně definitní matice a ${\displaystyle \mathbf {x} ={(x_{1},x_{2},...,x_{s})}^{T}}$ a ${\displaystyle \mathbf {\mu } ={(\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{s})}^{T}}$ jsou sloupcové vektory. V takovém případě hovoříme o ${\displaystyle s}$-rozměrném normálním rozdělení, které představuje zobecnění normálního rozdělení pro vícerozměrnou náhodnou veličinu.

Různé matematické programy obvykle umožňují výpočet hustoty pravděpodobnosti i distribuční funkce. V následujícím textu jsou uvedeny dva často používané programy: tabulkový kalkulátor Microsoft Excel a matematický software Matlab (respektive open-source klon GNU Octave).

	Excel	Matlab
Hustota pravděpodobnosti ${\displaystyle f(x)}$	= NORMDIST(x; ${\displaystyle \mu }$; ${\displaystyle \sigma }$; NEPRAVDA)	normpdf(x, ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \sigma }$)
Distribuční funkce ${\displaystyle F(x)}$	= NORMDIST(x; ${\displaystyle \mu }$; ${\displaystyle \sigma }$; PRAVDA)	normcdf(x, ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \sigma }$)
Inverzní distribuční funkce ${\displaystyle F^{-1}(x)}$	= NORMINV(x; ${\displaystyle \mu }$; ${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle 0<x<1}$	norminv(x, ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$