Sigma algebra

Systém ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ podmnožin množiny ${\displaystyle {\mathcal {\Omega }}}$ nazveme ${\displaystyle \sigma }$-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {A}}}$
2. jestliže ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(M_{n}\in {\mathcal {A}})}$, pak ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}\in {\mathcal {A}}}$
3. jestliže ${\displaystyle M\in {\mathcal {A}}}$, pak ${\displaystyle \Omega \setminus M\in {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle \sigma }$-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: ${\displaystyle \left(\bigcup _{M\in {\mathcal {A}}}M\right)\in {\mathcal {A}}}$; dostaneme dosazením prázdné množiny za ${\displaystyle M}$ v poslední části definice
• ${\displaystyle \sigma }$-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {R}})}$, pak ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$

Koncept ${\displaystyle \sigma }$-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je ${\displaystyle \sigma }$-aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině ${\displaystyle \Omega }$ hodnotu 1.

V teorii míry se dvojice ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$, kde ${\displaystyle \Omega }$ je libovolná množina a ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je ${\displaystyle \sigma }$-algebra na ${\displaystyle \Omega }$ nazývá měřitelný prostor a množiny ${\displaystyle {\mathcal {S}}\in {\mathcal {A}}}$ nazýváme měřitelné množiny.

• ${\displaystyle \sigma }$-okruh
• Pravděpodobnost