Měřitelný prostor

Uvažujme neprázdnou množinu ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle \sigma }$-algebru ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ na ${\displaystyle X}$. Pak uspořádanou dvojici ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ nazýváme měřitelný prostor.[2]

Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny základní množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Uvažujme množinu

${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$.

Jedna z možných ${\displaystyle \sigma }$-algeber je

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}}$.

Pak ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{1})}$ je měřitelný prostor. Další možnou ${\displaystyle \sigma }$-algebrou je potenční množina množiny ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$

Díky tomu jiný měřitelný prostor na množině ${\displaystyle X}$ je ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{2})}$.

Pokud ${\displaystyle X}$ je konečná nebo spočetná nekonečná množina, pak obvyklou ${\displaystyle \sigma }$-algebrou je potenční množina množiny ${\displaystyle X}$, tj. ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$. Měřitelný prostor je pak ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))}$.

Pokud ${\displaystyle X}$ je topologický prostor, ${\displaystyle \sigma }$-algebra může být borelovská ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)}$. Měřitelný prostor je pak ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$, který je obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny všech reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů. Může znamenat:

• jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše[1]
• měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel (která je borelovskou ${\displaystyle \sigma }$-algebrou)[3].