Měřitelná funkce

Měřitelné funkce jsou v matematice, konkrétně v teorii míry, funkce zachovávající strukturu mezi měřitelnými prostory; měřitelné funkce vytvářejí přirozené prostředí pro teorii integrálu. Jmenovitě funkce mezi měřitelnými prostory se nazývají měřitelné, jestliže vzor každé měřitelné množiny je měřitelný, což je podobná podmínka jako v případě spojitosti funkcí mezi topologickými prostory.

Definice vypadá jednoduše, ale zvláštní pozornost je třeba věnovat požadavkům týkajících se σ-algeber. Konkrétně, jestliže se funkce f: $\mathbb {R}$ → $\mathbb {R}$ nazývá Lebesgueovsky měřitelná, znamená to, že $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ je měřitelná funkce, tj. že jejím definičním oborem a oborem hodnot jsou různé σ-algebry na stejné podkladové množině (zde ${\mathcal {L}}$ je sigma algebra Lebesgueovsky měřitelných množin a ${\mathcal {B}}$ je borelovská algebra na $\mathbb {R}$ ). To má za důsledek, že funkce vzniklá složením dvou nebo více Lebesgueovsky měřitelných funkcí Lebesgueovsky měřitelná být nemusí.

Pokud není řečeno jinak, předpokládá se, že topologický prostor je opatřen borelovskou algebrou generovanou jeho otevřenými podmnožinami. Obvykle uvažujeme prostor tvořený množinou reálných nebo komplexních čísel. Například reálná měřitelná funkce je taková funkce, že vzor každé borelovské množiny je měřitelný. Komplexní měřitelná funkce je definovaná analogicky. V praxi někteří autoři používají termín měřitelné funkce pouze pro označení reálných měřitelných funkcí s ohledem na borelovskou algebru[1]. Jestliže funkční hodnoty leží v nekonečnědimenzionálním vektorovém prostoru místo $\mathbb {R}$ nebo $\mathbb {C}$ , používají se obvykle jiné definice měřitelnosti, jako je slabá měřitelnost a Bochnerova měřitelnost.

Sigma algebra v teorii pravděpodobnosti často znamená množinu dostupných informací, a funkce (v tomto kontextu náhodná proměnná) je měřitelná právě tehdy, když reprezentuje výsledek pokusu, který je podle dostupných informací známý. Naproti tomu funkce, které nejsou lebesgueovsky měřitelné, jsou obecně považovány za patologické, přinejmenším v oblasti matematické analýzy.

Formální definice

Nechť (X, Σ) a (Y, Τ) jsou měřitelné prostory, což znamená, že X a Y jsou množiny opatřené σ-algebrami Σ a Τ. O funkci f: X → Y řekneme, že je měřitelná, jestliže vzor každého E ∈ Τ ve zobrazení f leží v Σ; tj.

f^{-1}(E):=\{x\in X|\;f(x)\in E\}\in \Sigma ,\;\;\forall E\in T.

Měřitelnost tedy závisí na sigma algebrách Σ a Τ. Pro zdůraznění této závislosti měřitelnou funkci f: X → Y obvykle píšeme

f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,T)

Speciální měřitelné funkce

Borelovská funkce

Jestliže (X, Σ) a (Y, Τ) jsou borelovské prostory, měřitelná funkce f: (X, Σ) → (Y, Τ) se nazývá borelovská funkce. Každá spojitá funkce je borelovská, ale ne všechny borelovské funkce jsou spojité. Ale měřitelné funkce jsou spojité skoro všude; viz Luzinova věta. Jestliže borelovská funkce je zúžením nějakého zobrazení $Y{\stackrel {\pi }{\to }}X$ , nazývá se Borelovská část.

Lebesgueovsky měřitelná funkce

Lebesgueovsky měřitelná funkce je měřitelná funkce $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} })$ , kde ${\mathcal {L}}$ je sigma algebra Lebesgueovsky měřitelných množin a ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$ je borelovská algebra na komplexních číslech $\mathbb {C}$ . Lebesgueovsky měřitelné funkce jsou důležité v matematické analýze, protože je lze integrovat.

Měřitelné funkce v teorii pravděpodobnosti

Náhodné proměnné jsou měřitelné funkce definované na prostoru elementárních jevů.

Vlastnosti měřitelných funkcí

Součet a součin dvou komplexních měřitelných funkcí je měřitelný[2]. To platí i o podílu měřitelných funkcí, pokud dělitel není nulový[1].

Funkce vzniklá složením měřitelných funkcí je měřitelná; tj., jestliže f: (X, Σ₁) → (Y, Σ₂) a g: (Y, Σ₂) → (Z, Σ₃) jsou měřitelné funkce, pak je měřitelná i funkce g(f(·)): (X, Σ₁) → (Z, Σ₃)[1]. Ale pamatujte na varování týkající se Lebesgueovsky měřitelných funkcí na úvodu.

(Bodová) suprema, infima, limes superior a limes inferior posloupností (viz, spočetně mnoho) reálných měřitelných funkcí jsou také měřitelné funkce[1][3].

Bodová limita posloupnosti měřitelných funkcí je měřitelná funkce; všimněte si, že odpovídající tvrzení pro spojité funkce vyžadují silnější podmínky než bodová konvergence, jako je stejnoměrná konvergence. (Platí, když vzor prvků posloupnosti je metrický prostor, ale obecně ne; viz stránky 125 a 126 [4].)

Neměřitelné funkce

Reálné funkce, které se objevují v aplikacích, jsou obvykle měřitelné; ale není obtížné nalézt neměřitelné funkce.

Pokud jsou v měřitelném prostoru neměřitelné množiny, existují neměřitelné funkce z tohoto prostoru. Jestliže (X, Σ) je měřitelný prostor a A ⊂ X je neměřitelná množina, tj., jestliže A ∉ Σ, pak charakteristická funkce 1_A: (X, Σ) → $\mathbb {R}$ je neměřitelná (množina $\mathbb {R}$ je opatřena obvyklou borelovskou algebrou), protože vzorem měřitelné množiny {1} je neměřitelná množina A. Funkce 1_A je definována takto:

\mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ jestliže }}x\in A\\0&{\text{ jinak}}\end{cases}}

Jakoukoli nekonstantní funkci lze učinit neměřitelnou doplněním definičního oboru a oboru hodnot vhodnými σ-algebrami. Jestliže f: X → $\mathbb {R}$ je libovolná nekonstantní reálná funkce, pak f je neměřitelná, jestliže X opatříme nediskrétní algebrou Σ = {0, X}, protože vzorem libovolného bodu v oboru hodnot je nějaká neprázdná vlastní podmnožina X, která v takto definovaném Σ neleží.

Související články

Vektorové prostory měřitelných funkcí: L^p prostory
Dynamický systém zachovávající míru

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measurable function na anglické Wikipedii.

STRICHARTZ, Robert. Way of Analýza. [s.l.]: Jones a Bartlett, 2000. Dostupné online. ISBN 0-7637-1497-6.
FOLLAND, Gerald B. Real Analýza: Modern Techniques a jejich Aplikace. [s.l.]: Wiley, 1999. ISBN 0-471-31716-0.
ROYDEN, H. L. Real Analýza. [s.l.]: Prentice Hall, 1988. ISBN 0-02-404151-3.
DUDLEY, R. M. Real Analýza a Pravděpodobnost. 2. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-00754-2.

Externí odkazy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[strichartz-1] STRICHARTZ, Robert. Way of Analýza. [s.l.]: Jones a Bartlett, 2000. Dostupné online. ISBN 0-7637-1497-6.

[folland-2] FOLLAND, Gerald B. Real Analýza: Modern Techniques a jejich Aplikace. [s.l.]: Wiley, 1999. ISBN 0-471-31716-0.

[royden-3] ROYDEN, H. L. Real Analýza. [s.l.]: Prentice Hall, 1988. ISBN 0-02-404151-3.

[dudley-4] DUDLEY, R. M. Real Analýza a Pravděpodobnost. 2. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-00754-2.