Vícerozměrná náhodná proměnná

Podobně nový náhodný vektor ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ lze definovat aplikací afinní transformace ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ na náhodný vektor ${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle \mathbf {Y} ={\mathcal {A}}\mathbf {X} +b}$, kde ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je matice ${\displaystyle n\times n}$ a ${\displaystyle b}$ je sloupcový vektor ${\displaystyle n\times 1}$.

Pokud ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je invertovatelná matice a ${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$ má hustotu pravděpodobnosti ${\displaystyle f_{\mathbf {X} }}$, pak hustota pravděpodobnosti ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ je

${\displaystyle f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }({\mathcal {A}}^{-1}(y-b))}{|\det {\mathcal {A}}|}}}$.

Obecněji můžeme studovat invertovatelná zobrazení náhodných vektorů.[2]^:s.290–291

Nechť ${\displaystyle g}$ je bijektivní zobrazení z otevřené podmnožiny ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ na podmnožinu ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, nechť ${\displaystyle g}$ má spojité parciální derivace v ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ a nechť Jacobián ${\displaystyle g}$ není nulový v žádném bodě ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Předpokládejme, že reálný náhodný vektor ${\displaystyle \mathbf {X} }$ má hustotu pravděpodobnosti ${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$ a vyhovuje ${\displaystyle P(\mathbf {X} \in {\mathcal {D}})=1}$. Pak náhodný vektor ${\displaystyle \mathbf {Y} =g(\mathbf {X} )}$ má hustotu pravděpodobnosti

${\displaystyle \left.f_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}{\left|\det {\frac {\partial g(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right|}}\right|_{\mathbf {x} =g^{-1}(\mathbf {y} )}\mathbf {1} (\mathbf {y} \in R_{\mathbf {Y} })}$

kde ${\displaystyle \mathbf {1} }$ označuje charakteristickou funkci a množina ${\displaystyle R_{\mathbf {Y} }=\{\mathbf {y} =g(\mathbf {x} ):f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )>0\}\subseteq {\mathcal {R}}}$ označuje nosič ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Kovarianční matice (také nazývaná druhý centrální moment) náhodného vektoru ${\displaystyle n\times 1}$ je matice, ${\displaystyle n\times n}$ jejíž prvek (i,j) je kovariance mezi i-tou a j-tou náhodnou proměnnou. Kovarianční matice je střední hodnota, prvek po prvku, matice ${\displaystyle n\times n}$ vypočítané jako ${\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^{T}}$, kde horní index T je transpozice vektoru:[2]^:s.464[3]^:s.335

Rozšířením křížová kovarianční matice mezi dvěma náhodnými vektory ${\displaystyle \mathbf {X} }$ a ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ (${\displaystyle \mathbf {X} }$ s ${\displaystyle n}$ prvky a ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ s ${\displaystyle p}$ prvky) je matice ${\displaystyle n\times p}$[3]^:s.336

kde střední hodnota matice se opět bere po složkách. Prvek (i,j) je kovariance mezi i-tým prvkem ${\displaystyle \mathbf {X} }$ a j-tým prvkem ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Kovarianční matice je symetrická matice, tj.[2].^:s.466

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }^{T}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$.

Kovarianční matice je kladně semidefinitní matice, i.e[2].^:s.465

${\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad \forall \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$.

Křížová kovarianční matice ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]}$ je transpozicí matice ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$, tj.

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }^{T}}$.

Dva náhodné vektory ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{m})^{T}}$ a ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}$ se nazývají nekorelované, pokud

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$.

Jsou nekorelované právě tehdy, když jejich křížová kovarianční matice ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ je nulová.[3]^:s.337

Autokorelační matice (také nazývaná druhý moment) náhodného vektoru ${\displaystyle n\times 1}$ je matice ${\displaystyle n\times n}$, jejíž prvek (i,j) je korelace mezi náhodnými proměnnými i ^th a j ^th. Korelační matice je očekávaná hodnota, prvek po prvku, matice ${\displaystyle n\times n}$ vypočítané jako ${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}$, kde horní index T znamená transpozici příslušného vektoru:[4]^:s.190[3]^:s.334

Rozšířením křížové korelační matice mezi dvěma náhodnými vektory ${\displaystyle \mathbf {X} }$ a ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ (${\displaystyle \mathbf {X} }$ s ${\displaystyle n}$ prvky a ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ s ${\displaystyle p}$ prvky) je matice ${\displaystyle n\times p}$

Korelační matice má souvislost s kovarianční matice by

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$.

Podobně pro křížová korelace matice a křížová kovarianční matice:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

Střední hodnotu kvadratické formy můžeme vyjádřit náhodným vektorem ${\displaystyle \mathbf {X} }$ takto:[5]^:s.170–171

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}A\operatorname {E} [\mathbf {X} ]+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}$

kde ${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$ je kovarianční matice ${\displaystyle \mathbf {X} }$ a ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ je stopa matice – tj. součet prvků na její hlavní diagonále (shora zleva dolů doprava). Protože kvadratická forma je skalární, bude skalár i její střední hodnota.

Důkaz: Nechť ${\displaystyle \mathbf {z} }$ jsou náhodný vektor ${\displaystyle m\times 1}$ s ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu }$ a ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V}$ a nechť ${\displaystyle A}$ je nestochastická matice ${\displaystyle m\times m}$.

Pak podle vzorce pro kovarianci, jestliže označíme ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}=\mathbf {X} }$ a ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}A^{T}=\mathbf {Y} }$, vidíme, že:

${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

Tudíž

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [XY^{T}]&=\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]^{T}\\\operatorname {E} [z^{T}Az]&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\operatorname {E} [z^{T}]\operatorname {E} [z^{T}A^{T}]^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}A\mu ,\end{aligned}}}$

nyní zbývá pouze ukázat, že

${\displaystyle \operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]=\operatorname {tr} (AV).}$

To je splněno díky tomu, že můžeme cyklicky permutovat matici bez změny konečného výsledku (např.: ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$).

Vidíme, že

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]&=\operatorname {E} \left[\left(z^{T}-E(z^{T})\right)\left(z^{T}A^{T}-E\left(z^{T}A^{T}\right)\right)^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z^{T}-\mu ^{T})(z^{T}A^{T}-\mu ^{T}A^{T})^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}}$

Protože

${\displaystyle \left({z-\mu }\right)^{T}\left({Az-A\mu }\right)}$

je skalár, pak

${\displaystyle (z-\mu )^{T}(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left((z-\mu )^{T}A(z-\mu )\right)}$

triviálně. Při použití permutace dostaneme:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}A(z-\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left({A(z-\mu )(z-\mu )^{T}}\right),}$

a dosazením do původní formule dostaneme:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left[{z^{T},z^{T}A^{T}}\right]&=E\left[{\left({z-\mu }\right)^{T}(Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left(A(z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)\right]\\&=\operatorname {tr} \left({A\cdot \operatorname {E} \left((z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)}\right)\\&=\operatorname {tr} (AV).\end{aligned}}}$

Můžeme vzít střední hodnotu součinu ze dvou různý kvadratických forem náhodný vektor ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ve vícerozměrném normálním rozdělení s nulovou střední hodnotou takto:[5]^{:s.stránky 162–176}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[(\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} )(\mathbf {X} ^{T}B\mathbf {X} )\right]=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}$

kde opět ${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$ je kovarianční matice ${\displaystyle \mathbf {X} }$. Opět, protože obě kvadratické formy jsou skaláry a tedy jejich součin je skalár, střední hodnota jejich součinu je také skalární.

V teorii portfolia ve finančnictví často slouží účelová funkce k výběru portfolia rizikového majetku tak, aby rozdělení výnosu náhodného portfolia mělo požadované vlastnosti. Můžeme například chtít vybrat výnos portfolia, který bude mít nejnižší rozptyl pro danou střední hodnotu. Náhodný vektor je zde vektor ${\displaystyle \mathbf {r} }$ náhodných výnosů z určitého majetku a výnos portfolia p (náhodná skalární hodnota) je skalárním součinem vektoru náhodných výnosů s vektorem w vah portfolia – části portfolia alokovaného na příslušný majetek. Protože p = w^T${\displaystyle \mathbf {r} }$, střední hodnota výnosu portfolia je w^TE(${\displaystyle \mathbf {r} }$) a rozptyl výnosu portfolia bude w^TCw, kde C je kovarianční matice ${\displaystyle \mathbf {r} }$.

V teorii lineární regrese máme data z n pozorování závislé proměnné y a n pozorování každé z k nezávislých proměnných x_j. Pozorování závislých proměnných jsou uspořádána do sloupcového vektoru y; pozorování každé nezávislé proměnné jsou uspořádána do sloupcových vektorů, které tvoří regresní matici X (neznamenající v tomto kontextu náhodný vektor) pozorování nezávislé proměnné. Pak následující regresní rovnice prohlásíme za popis procesu, který generoval data:

${\displaystyle y=X\beta +e,}$

kde β je pevný, ale neznámý vektor k koeficientů odezvy a e je neznámý náhodný vektor odrážející náhodné vlivy na závislou proměnnou. Nějakou zvolenou technikou jako například pomocí obyčejných nejmenších čtverců dostaneme vektor ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$, který je odhadem β, pomocí něhož vypočítáme ${\displaystyle {\hat {e}}}$, odhad vektoru e

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}.}$

Statistik pak musí analyzovat vlastnosti ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ a ${\displaystyle {\hat {e}}}$, na které pohlížíme jako na náhodné vektory, protože náhodný výběr n pozorovaných případů způsobuje, že budou mít různé hodnoty.

Vývoj náhodného vektoru k×1 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ v čase lze modelovat jako vektorovou autoregresi (VAR) takto:

${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=c+A_{1}\mathbf {X} _{t-1}+A_{2}\mathbf {X} _{t-2}+\cdots +A_{p}\mathbf {X} _{t-p}+\mathbf {e} _{t},\,}$

kde vektor pozorování ${\displaystyle \mathbf {X} _{t-i}}$ o i period zpět se nazývá i-té zpoždění ${\displaystyle \mathbf {X} }$, c je k × 1 vektor konstant, A_i je časově invariantní matice k × k a ${\displaystyle \mathbf {e} _{t}}$ je náhodný vektor k × 1 chybových členů.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multivariate random variable na anglické Wikipedii.

• Náhodná veličina