Newtonův integrál

Pokud je funkce ${\displaystyle f(x)}$ spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, a funkce ${\displaystyle F(x)}$ je k ní na ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ primitivní, pak platí.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$

Tento vztah bývá též označován jako Newton-Leibnizova formule, popř. se o něm také hovoří jako o základní větě integrálního počtu.

Newtonova definice určitého integrálu požaduje spojitost funkce na daném intervalu. Pokud není funkce na intervalu spojitá v konečně mnoha bodech, lze interval v bodech nespojitosti rozdělit a hledat primitivní funkce po částech. Pro tento případ je ještě potřeba definovat takzvaný „zobecněný Newtonův integrál“, který je v případě nespojitosti primitivní funkce v krajních bodech definován jako rozdíl jednostranných krajních limit. Tedy:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{x\to b^{-}}F(x)-\lim _{x\to a^{+}}F(x)}$

Vzhledem k tomu, že ${\displaystyle F(x)}$ je primitivní funkcí k ${\displaystyle f(x)}$, používáme obvykle při výpočtu zápis

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x={[F(x)]}_{a}^{b}={F(x)|}_{a}^{b}=F(b)-F(a)}$

Pojem primitivní funkce, jakož i objevení Newtonova-Leibnizova vzorce je připisován Gottfriedu Wilhelmovi Leibnizovi na podzim roku 1675 a Isaacu Newtonovi roku 1666. I když se vedly o autorství objevu celého diferenciálního počtu rozepře, oba matematici objev učinili zřejmě nezávisle na sobě ^[zdroj?].

Jejich snaha byla zjistit obecný vzorec pro výpočet plochy pod křivkou. V případě Isaaca Newtona byla tato snaha motivována i využitím v mechanice. V 19. století se při snaze eliminovat nejasně definované pojmy infinitesimálních veličin Leibnize a Newtona rozvinula metoda založená na limitě přibližných součtů, dnes nazývaná Riemannův integrál^[zdroj?]. Na počátku dvacátého století pak vznikla teorie obecného integrálu, nazývaná integrálem Lebesgueovým^[zdroj?].

• Primitivní funkce
• Riemannův integrál
• Lebesgueův integrál
• Kurzweilův integrál