Křivkový integrál

Mějme orientovanou křivku ${\displaystyle k}$, která je definována rovnicemi ${\displaystyle x=\phi (t),y=\psi (t)}$ pro ${\displaystyle t\in \langle \alpha ,\beta \rangle }$. Na této křivce k nechť je definována funkce ${\displaystyle z=f(x,y)}$.

Křivku k rozdělíme na ${\displaystyle n}$ oblouků ${\displaystyle o_{1},o_{2},...,o_{n}}$ v bodech ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n-1}}$ s parametry ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<...<t_{n-1}}$. Na každém oblouku ${\displaystyle o_{i}}$ zvolíme bod ${\displaystyle C_{i}}$ o souřadnicích ${\displaystyle [\xi _{i},\eta _{i}]}$ a sestrojíme součty

${\displaystyle S_{x}=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})(x_{i}-x_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})[\phi (t_{i})-\phi (t_{i-1})]}$

${\displaystyle S_{y}=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})(y_{i}-y_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})[\psi (t_{i})-\psi (t_{i-1})]}$

${\displaystyle S_{s}=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})(s_{i}-s_{i-1})}$

kde ${\displaystyle l_{i}=s_{i}-s_{i-1}=\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}{\sqrt {{\phi ^{\prime }}^{2}(t)+{\psi ^{\prime }}^{2}(t)}}\mathrm {d} t}$ je délka oblouku ${\displaystyle o_{i}}$.

Největší z délek ${\displaystyle l_{k}}$ při daném dělení ${\displaystyle d}$ nazveme normou dělení ${\displaystyle d}$, tzn. ${\displaystyle \nu (d)=\max _{d}l_{k}}$.

Pokud existuje takové číslo ${\displaystyle I_{x}}$, resp. ${\displaystyle I_{y}}$, resp. ${\displaystyle I_{s}}$, že k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ lze najít takové ${\displaystyle \delta >0}$, že ${\displaystyle \left|I_{x}-S_{x}\right|<\varepsilon }$, resp. ${\displaystyle \left|I_{y}-S_{y}\right|<\varepsilon }$, resp. ${\displaystyle \left|I_{s}-S_{s}\right|<\varepsilon }$ pro každé dělení ${\displaystyle d}$, pro které ${\displaystyle \nu (d)<\delta }$ bez ohledu na volbu bodů ${\displaystyle C_{k}}$ na ${\displaystyle o_{k}}$, pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce ${\displaystyle f(x,y)}$ po křivce k vzhledem k x, resp. k y, resp. k s, což zapisujeme vztahy

${\displaystyle I_{x}=\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} x=\int _{k}f(\phi (t),\psi (t))\phi ^{\prime }(t)\mathrm {d} t}$

${\displaystyle I_{y}=\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} y=\int _{k}f(\phi (t),\psi (t))\psi ^{\prime }(t)\mathrm {d} t}$

${\displaystyle I_{s}=\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} s=\int _{k}f(\phi (t),\psi (t)){\sqrt {{\phi ^{\prime }}^{2}(t)+{\psi ^{\prime }}^{2}(t)}}\mathrm {d} t}$

Integrál ${\displaystyle I_{s}}$ označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály ${\displaystyle I_{x},I_{y}}$ jako křivkové integrály druhého druhu.

Je-li funkce ${\displaystyle f(x,y)}$ spojitá na křivce k, pak uvedené integrály existují.

Za integrál druhého druhu se považuje také integrál

${\displaystyle \int _{k}\left[f(x,y)\mathrm {d} x+g(x,y)\mathrm {d} y\right]=\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} x+\int _{k}g(x,y)\mathrm {d} y}$

Je-li křivka k uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak ${\displaystyle \oint }$.

Demonstrace významu křivkových integrálů

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou k ohraničena funkcí ${\displaystyle z=f(x,y)}$, je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem ${\displaystyle I_{s}}$. Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny ${\displaystyle xz}$, resp. ${\displaystyle yz}$, je určen integrálem ${\displaystyle I_{x}}$, resp. ${\displaystyle I_{y}}$.

Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti ${\displaystyle \Omega }$ definována spojitá funkce ${\displaystyle f(x,y,z)}$ a křivka k zadaná parametricky vztahy ${\displaystyle x=\phi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)}$ pro ${\displaystyle t\in \langle \alpha ,\beta \rangle }$, pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme

${\displaystyle \int _{k}f(x,y,z)\mathrm {d} s=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t),\chi (t)){\sqrt {{\phi ^{\prime }}^{2}(t)+{\psi ^{\prime }}^{2}(t)+{\chi ^{\prime }}^{2}(t)}}\mathrm {d} t}$

Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar

${\displaystyle \int _{k}f(x,y,z)\mathrm {d} x=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t),\chi (t))\phi ^{\prime }(t)\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \int _{k}f(x,y,z)\mathrm {d} y=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t),\chi (t))\psi ^{\prime }(t)\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \int _{k}f(x,y,z)\mathrm {d} z=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t),\chi (t))\chi ^{\prime }(t)\mathrm {d} t}$

V komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály z funkce komplexní proměnné přes křivky v komplexní rovině. Křivkový integrál z holomorfní funkce f(z) po C¹ křivce γ(t) , kde t je její parametr probíhající interval <a,b>

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=\int \limits _{a}^{b}f(z(t)){\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\,}$

kde se integruje zvlášť reálná a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z.}$

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí primitivní funkce, jako (reálné) křivkové integrály II. druhu, pomocí Greenovy věty, Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

Ve vektorovém počtu hrají důležitou roli především integrály prvního druhu (tedy integrály ze skalárního pole podél křivky) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového nebo obecně tenzorového pole podél křivky).

• Křivka
• Integrál
• Stokesova věta
• Greenova věta