Integrál pohybu

Je-li pohyb tělesa popsán lagrangiánem ${\displaystyle L=L(q^{1},...,q^{n},{\dot {q}}^{1},...,{\dot {q}}^{n},t)}$, pak lze najít integrály pohybu dvěma způsoby

1. Pokud ${\displaystyle L}$ nezávisí na některé zobecněné souřadnici ${\displaystyle q^{j}}$, pak je výraz ${\displaystyle {\partial L \over \partial {\dot {q}}^{j}}}$ integrálem pohybu.

Tvrzení plyne přímo Lagrangeových rovnic. Pokud ${\displaystyle L}$ nezávisí na ${\displaystyle q^{j}}$, je ${\displaystyle {\partial L \over \partial q^{j}}=0}$ a příslušná rovnice se redukuje na

${\displaystyle {{\mbox{d}} \over {\mbox{d}}t}\left({\partial L \over \partial {\dot {q}}^{j}}\right)=0}$

Integrací přes čas dostáváme, že ${\displaystyle {\partial L \over \partial {\dot {q}}^{j}}}$ je konstantní.

2. Pokud ${\displaystyle L}$ nezávisí explicitně na čase, pak je tzv. zobecněná energie ${\displaystyle h}$, definovaná vztahem

${\displaystyle h=\sum \limits _{j=1}^{n}{\partial L \over \partial {\dot {q}}^{j}}{\dot {q}}^{j}-L}$

integrálem pohybu. Pokud jsou navíc vazby systému holonomní a skleronomní (nebo systém žádné vazby nemá), je zobecněná energie rovna celkové mechanické energii

${\displaystyle h=T+V}$

Pokud je časový vývoj systému popsán hamiltoniánem ${\displaystyle H=H(q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n},t)}$, pak platí

1. Pokud ${\displaystyle H}$ nezávisí explicitně na čase, je sám integrálem pohybu. Jde o analogii zobecněné energie v Lagrangeově formalismu.

2. Pokud jsou funkce ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle g}$ integrály pohybu, pak i příslušná Poissonova závorka

${\displaystyle \{f,g\}=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\partial f \over \partial q^{j}}{\partial g \over \partial p_{j}}-{\partial f \over \partial p_{j}}{\partial g \over \partial q^{j}}\right)}$

je integrálem pohybu.

3. Je-li ${\displaystyle f}$ integrál pohybu, pak platí

${\displaystyle \{f,H\}+{\partial f \over \partial t}=0}$