Lebesgueův integrál

Nechť ${\displaystyle (X,{\mathcal {M}},\mu )}$ je prostor s mírou, ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}}$. Pro měřitelnou nezápornou funkci ${\displaystyle f:M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}$ definujeme Lebesgueův integrál vztahem

${\displaystyle \int \limits _{M}f{\mbox{d}}\mu =\sup \left\{\sum \limits _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}\mu (A_{j}),(\forall i\neq j)A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,M=\bigcup \limits _{j=1}^{\infty }A_{j},(\forall x\in A_{j})\alpha _{j}\leq f(x)\right\}}$

Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme

${\displaystyle \int \limits _{M}f{\mbox{d}}\mu =\int \limits _{M}f^{+}{\mbox{d}}\mu -\int \limits _{M}f^{-}{\mbox{d}}\mu }$

(má-li výraz smysl), kde ${\displaystyle f^{+}=\max \left\{0,f\right\}}$ je kladná část funkce ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle f^{-}=\max\{0,-f\}}$ je záporná část ${\displaystyle f}$.

• Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál. Obecná měřitelná funkce ${\displaystyle f}$ integrál nemá tehdy, když

${\displaystyle \int \limits _{M}f^{+}{\mbox{d}}\mu =\int \limits _{M}f^{-}{\mbox{d}}\mu =+\infty }$

• Pro jednoduchou funkci ${\displaystyle s=\sum \alpha _{j}\chi _{A_{j}}}$ je možné napsat definiční vztah jako

${\displaystyle \int \limits _{M}s{\mbox{d}}\mu =\sum \limits _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}\mu (A_{j})}$

Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.

Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ prostory funkcí

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}=\left\{f{\mbox{ měřitelná}},\int _{X}|f|^{p}{\mbox{d}}\mu <\infty \right\}}$

a zavedeme množinovou funkci

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}{\mbox{d}}\mu \right)^{1 \over p}}$

Snadno se ukáže, že ${\displaystyle \|f\|_{p}}$ splňuje všechny vlastnosti normy kromě jedné: ${\displaystyle \int _{X}|f|^{p}{\mbox{d}}\mu =0}$ neznamená ${\displaystyle f=0}$ všude v ${\displaystyle X}$, ale pouze skoro všude v ${\displaystyle X}$. Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0.

Zavádí se proto prostory ${\displaystyle L^{p}}$ tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již ${\displaystyle \|f\|_{p}}$ normou.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Lebesgueův integrál na Wikimedia Commons