Limita funkce

Pomocí rozšířených reálných čísel lze definovat limitu i v případě, že a nebo A je kladné nebo záporné nekonečno.

Pro ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$ rozlišujeme 4 případy, vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě. Pro vlastní limity platí, že ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$, pro nevlastní potom ${\displaystyle A=\infty }$ nebo ${\displaystyle A=-\infty }$. Pro limity ve vlastním bodě platí ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, pro limity v nevlastním bodě potom ${\displaystyle a=-\infty }$ nebo ${\displaystyle a=\infty }$

Příklad vlastní limity v vlastním bodě (${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,A\in \mathbb {R} }$ )

${\displaystyle \lim _{x\to 3}2x=6}$

Příklad nevlastní limity v vlastním bodě (${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,A=\pm \infty }$ )

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty }$

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě (${\displaystyle A\in \mathbb {R} ,a=\pm \infty }$ )

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }2^{x}=0}$

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě (${\displaystyle A=\pm \infty ,a=\pm \infty }$ )

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }2^{x}=\infty }$

O funkci ${\displaystyle f(x_{i})}$ n-proměnných ${\displaystyle x_{i}}$ říkáme, že má v bodě ${\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$ limitu K, pokud ke každému (libovolně malému) číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové číslo ${\displaystyle \delta >0}$, jež je v obecném případě závislé na volbě ${\displaystyle \varepsilon }$, že pro všechny body ${\displaystyle X=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}$ z ${\displaystyle \delta }$-okolí bodu A s výjimkou samotného bodu A platí ${\displaystyle |f(X)-K|<\varepsilon }$. Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů.

• ${\displaystyle \lim _{X\to A}f(X)=K}$
• ${\displaystyle \lim _{[x_{1},x_{2},...,x_{n}]\to A}f(X)=K}$
• ${\displaystyle \lim _{[x_{1},x_{2},...,x_{n}]\to [a_{1},a_{2},...,a_{n}]}f(X)=K}$
• ${\displaystyle \lim _{\begin{matrix}x_{1}\to a_{1}\\x_{2}\to a_{2}\\\vdots \\x_{n}\to a_{n}\end{matrix}}f(X)=K}$

Limita funkce n proměnných je tedy definována obdobným způsobem jako limita funkce jedné proměnné.

U funkce n proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, tzn. ${\displaystyle \lim _{X\to A}}$, ale také vzhledem několika nebo jen jedné z proměnných, tzn. např. ${\displaystyle \lim _{x_{3}\to a_{3}}}$. Tedy např.

${\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{2},x_{3},...,x_{n})}$,

kde g je funkcí ${\displaystyle n-1}$ proměnných.

O komplexní funkci ${\displaystyle f(z)}$ definované v okolí bodu ${\displaystyle z_{0}}$ říkáme, že má v ${\displaystyle z_{0}}$ limitu ${\displaystyle A}$, jestliže k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje ${\displaystyle \delta }$-okolí bodu ${\displaystyle z_{0}}$ takové, že

${\displaystyle |f(z)-A|<\varepsilon }$

Limitu v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ zapisujeme

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=A}$.

Formálně je tedy zápis stejný jako v případě reálných funkcí.

Limita ${\displaystyle A}$ může být komplexním číslem.

Limity x → x₀⁺ ≠ x → x₀⁻. Proto limita pro x → x₀ neexistuje.

O funkci ${\displaystyle f(x)}$ říkáme, že má v bodě ${\displaystyle a}$ limitu ${\displaystyle A}$ zprava, resp. zleva, pokud k libovolnému číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové číslo ${\displaystyle \delta >0}$, jehož hodnota může v obecném případě záviset na volbě ${\displaystyle \varepsilon }$, že pro všechna x z pravého resp. levého okolí bodu ${\displaystyle a}$, z něhož vyjmeme bod ${\displaystyle a}$, tedy pro všechna x splňující podmínku ${\displaystyle x\in (a,a+\delta )}$, resp. ${\displaystyle x\in (a-\delta ,a)}$, platí ${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon }$, což zapisujeme

${\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)=A\;}$ - označována jako limita zprava

${\displaystyle \lim _{x\to a-}f(x)=A\;}$ - označována jako limita zleva

Funkce ${\displaystyle f(x)}$ má v bodě a limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají.

Funkce y = 1/x nemá v bodě 0 limitu.

Funkce ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ nemá v bodě 0 limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity

${\displaystyle \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=\infty }$

Limitu ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$ nazýváme vlastní nebo konečnou limitou funkce ${\displaystyle f(x)}$ v bodě a, je-li ${\displaystyle A}$ konečné číslo.

Limitu funkce ${\displaystyle f(x)}$ v daném bodě a označíme jako nevlastní ${\displaystyle +\infty }$, resp. ${\displaystyle -\infty }$, pokud k libovolně velkému číslu ${\displaystyle K>0}$ existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechna x z ${\displaystyle \delta }$-okolí bodu a s výjimkou bodu a samotného platí ${\displaystyle f(x)>K}$, resp. ${\displaystyle f(x)<-K}$, tedy

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty }$

Nevlastní limitu lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu a.

Limitu funkce lze počítat ve vlastních i nevlastních bodech, přičemž vlastním bodem je myšleno libovolné reálné číslo, nevlastním pak ${\displaystyle \infty }$ či ${\displaystyle -\infty }$.

Říkáme, že funkce ${\displaystyle f(x)}$ má vlastní limitu ${\displaystyle A}$ v nevlastním bodě ${\displaystyle \infty }$ resp. ${\displaystyle -\infty }$ právě tehdy když:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists x_{0}\in \mathbb {R}$ :\forall x>x_{0}:\left|A-f(x)\right|<\varepsilon } resp. ${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists x_{0}\in \mathbb {R}$ :\forall x<x_{0}:\left|A-f(x)\right|<\varepsilon } .

Také v nevlastním bodě může být limita nevlastní, tzn. ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty }$.

• Mějme libovolné číslo c, funkci ${\displaystyle f(x)}$, která má v bodě a limitu A a funkci ${\displaystyle g(x)}$, která má ve stejném bodě limitu B, pak platí následující vztahy
  • ${\displaystyle \lim _{x\to a}cf(x)=cA}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=AB}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{B}}}$, pokud ${\displaystyle B\neq 0}$
• Mějme funkci ${\displaystyle f(x)}$, která má v bodě a limitu A, tzn. ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$, a funkci ${\displaystyle g(z)}$, která má v bodě A limitu B, tedy ${\displaystyle \lim _{z\to A}g(z)=B}$. Pokud existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechna x splňující podmínku ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ platí ${\displaystyle f(x)\neq A}$, pak

${\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=B}$

• Máme-li dvě funkce ${\displaystyle f(x),g(x)}$, pro něž v okolí nějakého bodu a platí ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$, pak v případě, že obě funkce mají v bodě a limitu, bude platit

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}g(x)}$

• Pokud v okolí bodu a platí ${\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}$ a existují limity ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$ a ${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=A}$, pak existuje také limita ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)}$, a její hodnota je ${\displaystyle A}$ (tzv. věta o třech limitách, známá spíše jako věta o dvou policajtech).

Příklad funkce bez limity v bodě x=1

Funkce

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ pro }}x<1\\0&{\mbox{ pro }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ pro }}x>1\end{cases}}}$

nemá limitu v bodě ${\displaystyle x_{0}=1}$.

• Derivace
• l'Hospitalovo pravidlo
• Vlastní limita
• Nevlastní limita
• Spojitá funkce
• Konvergence
• Divergence

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Limita funkce na Wikimedia Commons