Primitivní funkce

Integrace per partes je jedna ze základních metod používaných při integraci součinu funkcí. Vychází z pravidla pro derivaci součinu.

Substituční metoda využívá skutečnosti, že přechodem k jiným proměnným lze v mnoha případech získat integrál, který je snáze řešitelný, např. metodou per partes nebo přímo některým ze základních integrálů.

Jde o integrály tvaru ${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,\mathrm {d} x}$, kde ${\displaystyle P(x),Q(x)}$ jsou polynomy. Racionální funkci ${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce.

Integraci metodou derivování podle parametru lze využít tehdy, pokud integrujeme funkci ${\displaystyle f(x)}$, v níž vystupuje nějaký parametr ${\displaystyle a}$, např. ${\displaystyle y=ax}$. V takovém případě můžeme tento parametr formálně považovat za proměnnou. O funkci f pak můžeme uvažovat jako o funkci dvou proměnných, tzn. ${\displaystyle f(x,a)}$. Integrací funkce f přes množinu M dostaneme funkci parametru a ${\displaystyle F}$, tedy

${\displaystyle \int _{M}f(x,a)\,\mathrm {d} x=F(a)}$

Pokud jsou funkce f(x,a) a ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial a}}(x,a)}$ spojité v daném oboru proměnných x a a (po řadě značme M, N) a zároveň existuje integrovatelná majoranta g(x) taková, že

${\displaystyle \int _{M}{g(x)\,\mathrm {d} x}<+\infty ,}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial f}{\partial a}}(x,a)\right|<g(x)}$ na ${\displaystyle M\times N}$, pak pro všechna a z N platí

${\displaystyle \int _{M}{\frac {\partial f}{\partial a}}(x,a)\,\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\int _{M}f(x,a)\,\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} F(a)}{\mathrm {d} a}}}$

Výše uvedený postup se také nazývá záměna derivace a integrálu.

Tento postup lze uplatnit při výpočtu neurčitých integrálů (za splnění příslušných podmínek) při volbě M = (0, x). Potom je

${\displaystyle \int f(x,a)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{x}f(x,a)\,\mathrm {d} x+C=F(x,a)+C}$

a záměnou derivace a integrálu

${\displaystyle \int {\frac {\partial f}{\partial a}}(x,a)\,\mathrm {d} x={\frac {\partial F(x,a)}{\partial a}}+C.}$

Některé funkce je možné převést na integrály s racionálními integrandy. Říkáme pak, že integrál byl zracionalizován.

Při racionalizaci obvykle vyjádříme integrand jako racionální funkci dvou proměnných ${\displaystyle \displaystyle R(x,y)}$, přičemž za proměnnou ${\displaystyle \displaystyle y}$ dosadíme nějakou funkci proměnné ${\displaystyle \displaystyle x}$, tzn. ${\displaystyle \displaystyle y=\phi (x)}$. Racionalizaci pak provedeme vhodně zvolenou substitucí.

Racionalizaci lze provést pouze pro některé typy integrandů.

Např. integrál typu

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt[{s}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\mathrm {d} x}$,

kde ${\displaystyle \displaystyle s}$ je přirozené číslo a determinant ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\neq 0}$. Tento integrál lze zracionalizovat substitucí

${\displaystyle {\sqrt[{s}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}=t}$

Zvláštním případem integrandu z předchozího případu je ${\displaystyle R\left(x,{\sqrt[{s}]{ax+b}}\right)}$, který opět řešíme uvedenou substitucí s ${\displaystyle \displaystyle c=0,\ d=1}$.

Integrál typu

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\mathrm {d} x}$

lze pro ${\displaystyle \displaystyle a>0}$ zracionalizovat substitucí

${\displaystyle ax^{2}+bx+c={\sqrt {a}}x+t}$

nebo

${\displaystyle ax^{2}+bx+c={\sqrt {a}}x-t}$

Pro ${\displaystyle \displaystyle c>0}$ lze uvedený integrál zracionalizovat substitucí

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=tx+{\sqrt {c}}}$

nebo

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=tx-{\sqrt {c}}}$

Pro ${\displaystyle \displaystyle a<0}$ a pro reálné kořeny ${\displaystyle \displaystyle \alpha ,\,\beta }$ rovnice ${\displaystyle \displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ lze pro racionalizaci použít substitucí

${\displaystyle t={\sqrt {a{\frac {x-\alpha }{x-\beta }}}}}$

Tyto substituce bývají také označovány jako Eulerovy substituce.

K racionalizaci lze také využít goniometrických funkcí. Např. integrály typu

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)\mathrm {d} x}$

lze řešit substitucí

${\displaystyle \displaystyle x=a\cos t}$

nebo

${\displaystyle \displaystyle x=a\sin t}$

Podobně lze integrály typu

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right)\mathrm {d} x}$

řešit substitucí

${\displaystyle x=a\,\operatorname {tg} \,t}$

a integrály typu

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\right)\mathrm {d} x}$

řešit substitucí

${\displaystyle x={\frac {a}{\cos t}}}$

Pro integrály integrály typu

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x}$

lze v obecném případě (pro intervaly neobsahující body ${\displaystyle \displaystyle x=(2k+1)\pi }$ pro celá k) použít substituci

${\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {x}{2}}=z}$

Výrazy získané použitím substituce této bývají však obvykle složité, proto se obvykle snažíme použít některou z následujících substitucí.

Je-li funkce ${\displaystyle \displaystyle R}$ lichá v proměnné ${\displaystyle \displaystyle u=\sin x}$, pak je výhodnější použít substituci

${\displaystyle \displaystyle \cos x=z}$

Pokud je funkce ${\displaystyle \displaystyle R}$ lichá v proměnné ${\displaystyle \displaystyle v=\cos x}$, pak můžeme použít substituci

${\displaystyle \displaystyle \sin x=z}$

Pokud je funkce ${\displaystyle \displaystyle R}$ sudá v obou svých proměnných, tzn. ${\displaystyle \displaystyle u=\sin x}$ i ${\displaystyle \displaystyle v=\cos x}$, pak lze použít substituci

${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=z}$

K některým transcendentním funkcím je možné nalézt primitivní funkce.

Např. pokud je ${\displaystyle \displaystyle R(y)}$ racionální funkce proměnné ${\displaystyle \displaystyle y}$, pak integrál typu ${\displaystyle \int R(\mathrm {e} ^{x})\,\mathrm {d} x}$ lze řešit substitucí ${\displaystyle \displaystyle t=\mathrm {e} ^{x}}$.

Podobně lze integrál typu ${\displaystyle \int R(a^{x})\,\mathrm {d} x}$ můžeme řešit substitucí ${\displaystyle \displaystyle t=a^{x}}$.

Integrací racionální funkce nemusíme získat racionální funkci, ale může jít o funkci transcendentní. Také při integraci některých nižších transcendentních funkcí můžeme získat vyšší transcendentní funkce. Příkladem takových funkcí jsou ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x^{2}},\mathrm {e} ^{-x^{2}},{\frac {\sin x}{x}},{\frac {\cos x}{x}}}$ apod. K těmto funkcím sice existuje primitivní funkce, nelze ji však vyjádřit elementárními funkcemi v konečném tvaru.

Mezi takovéto často používané transcendentní funkce patří např.

• Integrálsinus (integrální sinus) ${\displaystyle \operatorname {Si} \,x=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t}$
• Integrálkosinus (integrální kosinus) ${\displaystyle \operatorname {Ci} \,x=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t}$
• Logaritmusintegrál (integrální logaritmus) ${\displaystyle \operatorname {li} \,x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,\mathrm {d} t}$
• Exponenciální integrál ${\displaystyle \operatorname {Ei} \,x=\int _{-\infty }^{x}{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t}$
• Gama funkce ${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t}$.

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

• Derivace
• Integrál