Aplikace integrálu

Integrály jsou rozsáhle užívány v mnoha oblastech. Například v teorii pravděpodobnosti jsou integrály využívány k určení pravděpodobnosti výskytu náhodné veličiny v určitém rozsahu. Navíc integrál pod celou křivkou hustoty pravděpodobnosti musí být roven 1, čímž lze ověřit, zda funkce bez záporných hodnot může být funkcí hustoty.[1]

Integrály mohou být využity k výpočtu obsahu dvojrozměrné oblasti ohraničené křivkou, stejně jako objemu třírozměrného tělesa se zakřivenými okraji. Obsah dvojrozměrné oblasti lze vypočítat pomocí určitého integrálu. Objem trojrozměrného tělesa, jako je například disk či podložka, může být počítán metodou diskové integrace s použitím rovnice objemu válce ${\displaystyle \pi r^{2}h}$, kde ${\displaystyle r}$ značí poloměr. V případě jednoduchého disku vzniklého rotací křivky kolem osy x je poloměr dán funkcí ${\displaystyle f(x)}$ a výška dána derivací ${\displaystyle dx}$. Při použití určitého integrálu s mezemi a a b je objem roven: [2]

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)dx}$.

Integrály také nalézají uplatnění ve fyzice, například v kinematice k nalezení takových veličin, jako jsou posunutí, čas nebo rychlost. Například při pohybu přímočarém je posunutí tělesa během časového intervalu ${\displaystyle [a;b]}$ dáno vztahem:

${\displaystyle x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)dt}$,

kde ${\displaystyle v(t)}$ značí rychlost vyjádřenou jako funkci času.[3] Práce vykonaná silou ${\displaystyle F(x)}$ (vyjádřeno jako funkce polohy tělesa) při pohybu z výchozí pozice A do výsledné pozice B je rovna: [2]

${\displaystyle W=\int _{A}^{B}F(x)dx}$.

Integrály jsou též používány v termodynamice, kde lze metodou termodynamické integrace stanovit rozdíl volné energie mezi dvěma danými stavy.