Trojúhelník

Trojúhelník ABC s vrcholy A, B, C a stranami a, b, c

Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníku. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníku. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům se nazývají vnější úhly trojúhelníku. Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého vrcholu dva). Trojúhelník nemá úhlopříčky.

Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem. Trojúhelník se zapisuje symbolem Δ následovaným výčtem všech vrcholů.

Trojúhelník může být určen:

• (sss) délkou všech tří stran,
• (sus) délkou dvou stran a velikostí úhlu, který svírají,
• (usu) délkou strany a velikostí úhlů, které k ní přiléhají,
• (ssu) délkou dvou stran a velikostí úhlu proti větší z nich.

Ke konstrukci trojúhelníku se mohou použít i výšky, těžnice atd.

Vnitřní úhly: α, β, γ
vnější úhly: α’, β’, γ’ a α’’, β’’, γ’’

Strany trojúhelníku splňují trojúhelníkové nerovnosti:

Součet dvou libovolných stran trojúhelníku je vždy delší než strana třetí, neboli

a + b > c

a + c > b

b + c > a

${\displaystyle |a-b|<c}$

${\displaystyle |a-c|<b}$

${\displaystyle |b-c|<a}$

Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leží větší strana.

α + α’ = β + β’ = γ + γ’ = 180°

α + β = γ’

α + γ = β’

β + γ= α’

α + β + γ = 180°

α’ + β’ + γ’ = 360°

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =1+4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2(1+\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma )}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }$

Obecný trojúhelník není osově ani středově souměrný, některé druhy trojúhelníků mohou být osově souměrné např.: rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník.

Vztahy mezi úhly a stranami určují sinová, kosinová a tangentová věta.

Zavedeme-li veličinu ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$, pak lze velikosti vnitřních úhlů určit ze vztahů

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{bc}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-c)(s-a)}{ac}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)}{ab}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s(s-a)}{bc}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {s(s-b)}{ac}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {s(s-c)}{ab}}}}$

Opsaná kružnice

Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran, poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Spojnice středu kružnice opsané a jednotlivých vrcholů trojúhelníku jsou kolmé k jednotlivým stranám jeho ortického trojúhelníku (tzv. Nagelova věta).

Velikost poloměru opsané kružnice určuje vztah

${\displaystyle r={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}.}$

Vepsaná kružnice

Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany.

Pro poloměr kružnice vepsané platí

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(a+b+c)\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}={\frac {S}{s}}.}$

Vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané je

${\displaystyle d={\sqrt {r^{2}-2r\rho }}.}$

Kružnice připsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká jedné strany trojúhelníku a dvou přímek, které jsou prodloužením zbývajících stran trojúhelníku. Střed kružnice připsané leží v průsečíku osy jednoho vnitřního úhlu a dvou vedlejších úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Každý trojúhelník má tři kružnice připsané.

Obvod trojúhelníku o se vypočte jako součet všech jeho stran:

${\displaystyle o=a+b+c}$ , kde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ jsou strany trojúhelníku

Obsah trojúhelníku S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:

${\displaystyle S=v_{a}\cdot {a \over 2}={v_{a}\cdot a \over 2}}$, kde ${\displaystyle v_{a}}$ je výška příslušná straně a

Pokud není známá příslušná výška, je možné obsah trojúhelníku vypočítat podle Heronova vzorce

${\displaystyle s={o \over 2}}$, kde ${\displaystyle o}$ je obvod trojúhelníku

${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice opsané (${\displaystyle r}$):

${\displaystyle S={\frac {abc}{4r}}=2r^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice vepsané (${\displaystyle \rho }$):

${\displaystyle S={\frac {a+b+c}{2}}\rho }$

Obsah trojúhelníku pomocí vnitřního úhlu:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\,\sin \gamma ={\frac {1}{2}}ac\,\sin \beta ={\frac {1}{2}}bc\,\sin \alpha }$

Trojúhelník_ABC-D

Obsah obecného trojúhelníku v rovině kde (a_x,a_y), (b_x,b_y), (c_x,c_y) jsou souřadnice vrcholů (vychází z vektorového součinu, použití hlavně v grafice):

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}|(c_{x}-a_{x})(b_{y}-a_{y})-(c_{y}-a_{y})(b_{x}-a_{x})|}$

nebo:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}|[a_{x}(c_{y}-b_{y})+b_{x}(a_{y}-c_{y})+c_{x}(b_{y}-a_{y})]|}$

Použije-li se předcházející vzorec bez absolutní hodnoty, lze jej využít pro ověření zda bod (d_x,d_y) leží uvnitř trojúhelníku ABC. V případě, že leží, tak znaménka obsahů všech čtyř trojúhelníků ABC, ABD, BCD a CAD jsou stejná. Leží-li vně, nemají všechny obsahy stejné znaménko. To je kladné, obíhájí-li vrcholy ve směru hodinových ručiček.

V trojúhelníku platí mnohé věty, vzorce, poučky. Např.

• sinová věta
• kosinová věta (zobecnění Pythagorovy věty na nepravoúhlý trojúhelník)
• tangentová věta

V pravoúhlém trojúhelníku navíc:

• Pythagorova věta

Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.

vzorec: c² = a² + b²

• Euklidova věta