Kosinová věta
V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran.
Pro každý rovinný trojúhelník s vnitřními úhly a stranami platí:
Speciálním případem kosinové věty pro pravoúhlý trojúhelník (tj. úhel γ pravý) je Pythagorova věta: pak a tudíž .
Větu lze mimo jiné použít k určení délky strany trojúhelníku v případě, že jsou dány délky obou zbývajících stran trojúhelníku včetně úhlu, který svírají. Nebo k výpočtu k výpočtu vnitřních úhlů trojúhelníku, jestliže jsou známy délky stran
Důkaz
Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.
Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany trojúhelníku je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu (ostrý, pravý a tupý):
- Je-li ostrý a bod patou výšky , pak bod náleží straně (pokud ne, prohodíme označení bodů a ). Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
- .
- Protože dále platí, že a , lze psát
- Je-li pravý, pak podle Pythagorovy věty je
- Protože je , je , a pak
- , pak tedy
- Je-li tupý a bod patou výšky , pak bod leží mimo . Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
- .
- Protože dále platí, že a a dále a lze psát
- .
- Což je totéž, jako v případě, že je úhel ostrý a tedy
- .
Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku
Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:
Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):
kde
- jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst
- je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst
- je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země
Délku ortodromy pak lze vypočíst jako , je-li e v úhlové míře, resp. , je-li ve stupních.
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu kosinová věta na Wikimedia Commons