Sinová věta

V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Trojúhelník ABC

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$.

Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“

Zjednodušení sinové věty, aplikované na pravoúhlý trojúhelník je:

${\displaystyle \sin(90)=1}$

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{1}}}$

z čehož plyne:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}=c}$

Větu lze ovšem zformulovat také takto:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$ , či takto: ${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}}$ , nebo takto: ${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \alpha }}}$,

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

• Jsou dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a mají se dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
• Jsou známy délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a je třeba zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.