Trojúhelníková nerovnost

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ ve tvaru

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

V normovaném vektorovém prostoru ${\displaystyle V}$ s normou ${\displaystyle \|\cdot \|}$ má trojúhelníková nerovnost tvar

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$

pro každé dva vektory ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ z ${\displaystyle V}$.

V metrickém prostoru ${\displaystyle M}$ s metrikou ${\displaystyle d}$ má trojúhelníková nerovnost tvar:

${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

to jest, že vzdálenost ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle z}$ není větší než součet vzdálenosti z ${\displaystyle x}$ do ${\displaystyle y}$ a vzdálenosti z ${\displaystyle y}$ do ${\displaystyle z}$.

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

${\displaystyle \left||x|-|y|\right|\leq |x-y|}$ pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

${\displaystyle \left|\|x\|-\|y\|\right|\leq \|x-y\|}$ pro normované vektorové prostory a

${\displaystyle \left|d(x,y)-d(x,z)\right|\leq d(y,z)}$ pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce ${\displaystyle d(x,\cdot )}$ jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.