Metrický prostor

Maurice Fréchet zavedl pojem metrického prostoru ve své práci Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.

Pojem "metrický prostor" vznikl proto, aby se některé pojmy (definované pomocí vzdálenosti bodů na reálné ose) daly zavést pro širší skupinu matematických objektů. Příkladem takových pojmů jsou:

• Otevřené a uzavřené množiny
• Spojité zobrazení
• Cauchyovská a konvergentní posloupnost
• Kompaktní množina

Tyto pojmy mají své definice na reálné ose, které silně využívají pojem "vzdálenost" (tedy absolutní hodnota rozdílu dvou reálných čísel). Lze je však zobecnit na jakoukoli množinu, kde je pojem "vzdálenost" nějak definovaný, například množinu bodů v rovině a prostoru. Nebo množinu spojitých funkcí na intervalu, kde vzdáleností je maximum jejich rozdílu. Pak se lze ptát, zda je nějaká množina funkcí uzavřená, zda posloupnost funkcí konverguje apod.

Jelikož studium těchto analogií (mezi reálnou osou a složitějšími množinami) přináší mnoho užitečných výsledků, jsou formalizovány pojmem "Metrický prostor", což je množina spolu se zobrazením, které každé dvojici bodů přiřadí tzv. metriku. Pojmy "metrika" a "vzdálenost" se při neformálním vyjadřování užívají záměnně, ale pojem "metrika" se snaží zdůraznit, že může jít o libovolné zobrazení splňující axiomy níže, nejen o vzdálenost v klasickém smyslu. Na téže množině (např. body v rovině) lze zavést několik různých metrik.

Metrický prostor je dvojice ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\rho )}$, kde ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ je libovolná neprázdná množina a ${\displaystyle \rho }$ je tzv. metrika, což je zobrazení

${\displaystyle \rho$ :{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} } ,

které splňuje následující axiomy (pro libovolná ${\displaystyle x,y,z\in {\mathcal {M}}}$):

1. Axiom nezápornosti: ${\displaystyle \rho (x,y)\geq 0}$
2. Axiom totožnosti: ${\displaystyle \rho (x,y)=0\iff x=y}$
3. Axiom symetrie: ${\displaystyle \rho (x,y)=\rho (y,x)\,\!}$
4. Trojúhelníková nerovnost: ${\displaystyle \rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (y,z)}$

Buď ${\displaystyle (X,\rho )}$ metrický prostor, ${\displaystyle x\in X,\varepsilon >0,M\subset X}$:

• Otevřená koule se středem v bodě x a poloměrem ε je množina ${\displaystyle B(x,\varepsilon )=\{y\in X;\rho (x,y)<\varepsilon \}}$. Někdy místo o otevřené kouli mluvíme o ε-okolí bodu x, pak ho značíme ${\displaystyle {\mathcal {U}}(x,\varepsilon )}$. Prstencové (redukované) ε-okolí bodu x je${\displaystyle P(x,\varepsilon )={\mathcal {U}}(x,\varepsilon )\setminus \{x\}}$.
• Uzavřená koule je množina ${\displaystyle {\bar {B}}(x,\varepsilon )=\{y\in X;\rho (x,y)\leq \varepsilon \}}$.
• ${\displaystyle \rho _{M}=\rho |_{M{\text{x}}M}}$ (zúžení na ${\displaystyle M{\text{x}}M}$) je metrika na ${\displaystyle M}$ a prostor ${\displaystyle (M,\rho _{M})}$ se nazývá podprostor metrického prostoru ${\displaystyle (X,\rho )}$.
• Řekneme, že x je vnitřní bod množiny M, jestliže existuje ε>0 splňující ${\displaystyle {\mathcal {U}}(x,\varepsilon )\subset M}$. Množina všech vnitřních bodů množiny M nazýváme vnitřkem množiny M a značíme ${\displaystyle M^{0}}$ nebo ${\displaystyle IntM}$.
• Množinu se nazývá otevřená, jestliže ${\displaystyle M=M^{0}}$.
• Bod x je hromadným bodem množiny M, jestliže platí ${\displaystyle \forall \varepsilon >0:P(x,\varepsilon )\cap M\neq \varnothing }$. Množina hromadných bodů množiny M se nazývá derivace množiny M a značí se symbolem ${\displaystyle M'}$.
• Množina M je uzavřená, jestliže ${\displaystyle X\setminus M}$ je otevřená (nebo taky jestliže všechny hromadné body patří do M).
• Uzávěrem množiny M rozumíme množinu ${\displaystyle {\bar {M}}=\{x\in X;\forall \varepsilon >0:{\mathcal {U}}(x,\varepsilon )\cap M\neq \varnothing \}}$
• Řekneme, že bod x je hraničním bodem množiny M, jestliže platí ${\displaystyle \forall \varepsilon >0:({\mathcal {U}}(x,\varepsilon )\cap M\neq \varnothing )\land ({\mathcal {U}}(x,\varepsilon )\cap (X\setminus M)\neq \varnothing )}$. Množinu všech hraničních bodů nazýváme hranice a značíme ji ${\displaystyle \delta M}$. Z definice vidíme, že tyto body patří do uzávěru množiny i do uzávěru doplňku množiny.
• Množina M je hustá v X, jestliže ${\displaystyle {\bar {M}}=X}$.
• Vzdálenost bodu x od množiny M definujeme předpisem ${\displaystyle dist(x,M):={\inf _{z\in M}\rho (x,y)}}$, kde ${\displaystyle \inf }$ znační infimum.
• Diametrem (průměrem) množiny M rozumíme číslo definované předpisem ${\displaystyle diamM=f(n)={\begin{cases}0,&{\text{pokud }}M=\varnothing ,\\{\sup _{x,y\in M}\rho (x,y)},&{\text{pokud }}M\neq \varnothing ,\end{cases}}}$ kde ${\displaystyle \sup }$ značí supremum.
• Množina M se nazývá omezená, jestliže ${\displaystyle \exists K:diamM<K}$.

V ${\displaystyle \mathbb {R} }$ s eukleidovskou normou:

• ${\displaystyle M=(0,1)}$ : je otevřená, není uzavřená ${\displaystyle M^{0}=M,{\bar {M}}=\langle 0,1\rangle ,\delta M=\{0;1\}}$, omezená
• ${\displaystyle M=\langle 0,1\rangle }$ : není otevřená, je uzavřená, ${\displaystyle M^{0}=(0,1),{\bar {M}}=\langle 0,1\rangle ,\delta M=\{0;1\}}$, omezená
• ${\displaystyle M={\bigl (}0,1\rangle }$ : není otevřená ani uzavřená, ${\displaystyle M^{0}=(0,1),{\bar {M}}=\langle 0,1\rangle ,\delta M=\{0;1\}}$, omezená
• ${\displaystyle M=(-\infty ,\infty )}$: je otevřená i uzavřená, ${\displaystyle M^{0}=M,{\bar {M}}=M,\delta M=\{\}}$, neomezená

Mějme na neprázdné množině ${\displaystyle \mathbf {M} }$ dvě libovolné metriky ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$. Následující výroky jsou ekvivalentní:

• každá množina ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$ otevřená v metrice ${\displaystyle \rho _{1}}$ je otevřená také v metrice ${\displaystyle \rho _{2}}$
• každá množina ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$ uzavřená v metrice ${\displaystyle \rho _{1}}$ je uzavřená také v metrice ${\displaystyle \rho _{2}}$
• pro každé ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$ platí ${\displaystyle \mathrm {cl} _{2}\mathbf {X} \subset \mathrm {cl} _{1}\mathbf {X} }$, kde ${\displaystyle \mathrm {cl} _{i}\mathbf {X} }$ značí uzávěr množiny ${\displaystyle \mathbf {X} }$ vzhledem k metrice ${\displaystyle \rho _{i}}$.
• pro každé ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$ platí ${\displaystyle \mathrm {int} _{1}\mathbf {X} \subset \mathrm {int} _{2}\mathbf {X} }$, kde ${\displaystyle \mathrm {int} _{i}\mathbf {X} }$ značí vnitřek množiny ${\displaystyle \mathbf {X} }$ vzhledem k metrice ${\displaystyle \rho _{i}}$.
• každé okolí bodu ${\displaystyle x\in \mathbf {M} }$ v metrice ${\displaystyle \rho _{1}}$ je okolím také v metrice ${\displaystyle \rho _{2}}$.
• identické zobrazení metrického prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho _{1})}$ na ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho _{2})}$ je spojité.
• každá posloupnost ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ bodů z ${\displaystyle \mathbf {M} }$, která v metrickém prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho _{2})}$ konverguje k x, konverguje ke stejné limitě také v prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho _{1})}$.

Uvedená tvrzení definují vztah mezi metrikami ${\displaystyle \rho _{1}}$ a ${\displaystyle \rho _{2}}$. Je-li přitom ${\displaystyle \rho _{1}\neq \rho _{2}}$, pak o takto definovaných metrikách říkáme, že ${\displaystyle \rho _{2}}$ je silnější než ${\displaystyle \rho _{1}}$ (nebo ${\displaystyle \rho _{1}}$ je slabší než ${\displaystyle \rho _{2}}$).

O metrikách ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ na ${\displaystyle \mathbf {M} }$ řekneme, že jsou ekvivalentní tehdy, když každá množina ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$ je otevřená v metrice ${\displaystyle \rho _{1}}$ právě tehdy, když je otevřená v metrice ${\displaystyle \rho _{2}}$. Jsou-li metriky${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ ekvivalentní, pak pro každou množinu ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$ platí ${\displaystyle \mathrm {cl} _{1}\mathbf {X} =\mathrm {cl} _{2}\mathbf {X} }$, kde ${\displaystyle \mathrm {cl} _{i}\mathbf {X} }$ je uzávěr množiny ${\displaystyle \mathbf {X} }$ v metrice ${\displaystyle \rho _{i}}$. Jestliže jsou metriky ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ ekvivalentní, pak pro každou množinu ${\displaystyle \mathbf {X} \subset \mathbf {M} }$ také platí ${\displaystyle \mathrm {int} _{1}\mathbf {X} =\mathrm {int} _{2}\mathbf {X} }$, kde ${\displaystyle \mathrm {int} _{i}\mathbf {X} }$ je vnitřek množiny ${\displaystyle \mathbf {X} }$ v metrice ${\displaystyle \rho _{i}}$.

• Prostor M je totálně omezený, pokud pro každé kladné číslo ${\displaystyle \epsilon \,\!}$ existuje konečná množina ${\displaystyle S\subseteq M}$ taková, že každý prvek M je k nějakému prvku S blíže, než ${\displaystyle \epsilon \,\!}$. Množině ${\displaystyle S}$ se říká ${\displaystyle \epsilon }$-síť. Prostor M je omezený, pokud existuje kladné číslo K takové, že vzdálenost libovolné dvojice prvků je menší, než K.
• Konvergence posloupnosti a spojitost zobrazení se definuje analogicky, jako na reálných číslech.
• Kompaktní množina je množina, z jejíhož každého pokrytí otevřenými množinami lze vybrat konečné pokrytí.
• Uzavřený podprostor se definuje podobně, jako na reálných číslech, ovšem prostor může být uzavřený vůči některým svým nadprostorům a otevřený vůči jiným. Je-li uzavřený vůči všem, pak se nazývá absolutně uzavřený
• Úplný metrický prostor je metrický prostor, v němž každá cauchyovská posloupnost je konvergentní. Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.

Vynecháním podmínky symetrie se definice mění na definici kvazimetrického prostoru, zatímco povolením nulové vzdálenosti pro různé body se definice mění na definici pseudometrického prostoru.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu metrický prostor na Wikimedia Commons