Normovaný lineární prostor

Normovaný lineární prostor nebo normovaný vektorový prostor je v matematice takový lineární prostor, ve kterém je každému vektoru x přiřazeno reálné číslo – norma – vyjadřující délku vektoru x, t. j. na daném lineárním prostoru je definováno zobrazení ${\displaystyle x\to \|x\|}$. Pro normu vektoru x, označovanou ${\displaystyle \|x\|}$, musí platit následující 3 vlastnosti:

1. ${\displaystyle (\forall x:\|x\|\geq 0)\land (\|x\|=0\iff x={\vec {0}}),}$
2. ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|,}$
3. ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

Často je výhodné definovat normu pomocí skalárního součinu. V případě, že je na lineárním prostoru definována norma shodná s normou definovanou pomocí skalárního součinu, nazývá se daný lineární prostor prostorem unitárním. Pokud je metrický prostor odpovídající danému normovanému lineárnímu prostoru úplný, nazývá se daný normovaný lineární prostor jako Banachův prostor. Pokud je úplný metrický prostor odpovídající danému unitárním prostoru, nazývá se daný unitární prostor jako Hilbertův prostor.