Totálně omezený metrický prostor

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor ${\displaystyle M}$ všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností ${\displaystyle a_{i},\,b_{i}\,\!}$ supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel ${\displaystyle \left|a_{1}-b_{1}\right|,\,\left|a_{2}-b_{2}\right|\dots \,\!}$.

Uvažme množinu ${\displaystyle A\subseteq M}$ těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor ${\displaystyle M}$ není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina ${\displaystyle A}$ je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek ${\displaystyle A}$ má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro ${\displaystyle \epsilon =1\,\!}$ existovala konečná ${\displaystyle \epsilon }$-síť ${\displaystyle S}$, jejíž prvky můžeme označit ${\displaystyle S(1),S(2),\dots S(m)\,\!}$, kde ${\displaystyle m}$ je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost ${\displaystyle c_{n}\,\!}$, definovanou takto:

• ${\displaystyle c_{i}=-2\,\!}$, pokud ${\displaystyle i\leq m\,\!}$ a ${\displaystyle S(i)_{i}\geq 0\,\!}$
• ${\displaystyle c_{i}=\,2\,\!}$, pokud ${\displaystyle i\leq m\,\!}$ a ${\displaystyle S(i)_{i}<0\,\!}$
• ${\displaystyle c_{i}=0\,\!}$, pokud ${\displaystyle i>m\,\!}$

Symbol ${\displaystyle S(i)_{i}}$ značí ${\displaystyle i}$-tý prvek ${\displaystyle i}$-té posloupnosti v množině ${\displaystyle S}$. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost ${\displaystyle c_{n}}$ se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti ${\displaystyle S(i)\,\!}$, čehož dosáhneme tak, že pro každé ${\displaystyle i}$ vhodnou volbou ${\displaystyle c_{i}}$ zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti ${\displaystyle S(i)}$

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek ${\displaystyle S(j)}$ má od posloupnosti ${\displaystyle c_{n}\,\!}$ vzdálenost menší, než 1. Z definice ${\displaystyle c_{n}\,\!}$ však plyne, že číslo ${\displaystyle S(j)_{j}}$ je od čísla ${\displaystyle c_{j}}$ vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Totally bounded space na anglické Wikipedii.

• Kompaktní množina
• Metrický prostor