Uzávěr množiny

Pojem uzavřená množina lze názorně definovat na reálných číslech nebo v Euklidovském prostoru, abstraktněji v metrických prostorech a ještě obecněji v topologickém prostoru.

Níže uvedená definice a vlastnosti platí pro každou z právě vyjmenovaných situací.

Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru ${\displaystyle X}$, které obsahují ${\displaystyle M}$ jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny ${\displaystyle M}$, značíme ${\displaystyle {\overline {M}}}$.

${\displaystyle {\overline {M}}=\bigcap \{U\subseteq X:U}$ je uzavřená ${\displaystyle \land M\subseteq U\}}$

Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny ${\displaystyle M}$ jako množinu ${\displaystyle {\overline {M}}}$ všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí ${\displaystyle U}$ má neprázdný průnik s ${\displaystyle M}$.

${\displaystyle {\overline {M}}=\{x\in X:\forall U(x)\quad U(x)\cap M\neq \emptyset \}}$

Uzávěr množiny ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {M} }$ metrického prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho )}$ lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako ${\displaystyle \mathbf {M} \backslash \mathrm {int} (\mathbf {M} \backslash \mathrm {A} )}$, kde ${\displaystyle \mathrm {int} \mathbf {X} }$ označuje vnitřek množiny ${\displaystyle \mathbf {X} }$.

Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod ${\displaystyle a\in \mathbf {X} }$ označíme jako vnitřní bod množiny ${\displaystyle \mathbf {X} \subseteq \mathbf {M} }$, pokud existuje takové ${\displaystyle r>0}$, že pro množinu ${\displaystyle \mathbf {B} (a,r)=\{x\in \mathbf {M}$ :\rho (a,x)<r\}} platí ${\displaystyle \mathbf {B} (a,r)\subset \mathbf {X} }$.

Pokud platí ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathrm {int} \mathbf {X} }$, pak se množina ${\displaystyle \mathbf {X} }$ nazývá otevřená (v metrice ${\displaystyle \rho }$).

Pro množiny ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {M} ,\mathbf {B} \subset \mathbf {M} }$ metrického prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho )}$ platí vztahy

• ${\displaystyle \mathrm {int} \mathbf {A} \subset \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathrm {int} \,\mathrm {int} \mathbf {A} =\mathrm {int} \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathrm {int} (\mathbf {A} \cap \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cap \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \mathrm {int} (\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )\subset \mathbf {A} \cup \mathbf {B} }$
• pokud ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {B} }$, pak platí také ${\displaystyle \mathrm {int} \mathbf {A} \subset \mathrm {int} \mathbf {B} }$
• každá otevřená podmnožina množiny ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je podmnožinou ${\displaystyle \mathrm {int} \mathbf {A} }$
• množinu ${\displaystyle \mathrm {int} \mathbf {A} }$ získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Je-li ${\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {M} }$ částí metrického prostoru ${\displaystyle (\mathbf {M} ,\rho )}$, pak vnitřek množiny ${\displaystyle \mathbf {M} \backslash \mathbf {A} }$ nazveme vnějškem množiny ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Body nacházející se ve vnějšku ${\displaystyle \mathbf {A} }$ nazýváme vnějšími body množiny ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Pokud existuje takové okolí ${\displaystyle \mathbf {U} }$ bodu ${\displaystyle a\in \mathbf {A} }$, že ${\displaystyle \mathbf {U} \cap \mathbf {A} =\{a\}}$, pak bod a nazýváme izolovaným bodem.

Jestliže každé okolí bodu ${\displaystyle x\in \mathbf {M} }$ obsahuje prvek množiny ${\displaystyle \mathbf {A} \subseteq \mathbf {M} }$ různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Bod uzávěru je hromadným bodem množiny ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (pokud se nejedná o izolovaný bod).

• Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. ${\displaystyle {\overline {\mathbf {M} }}=\mathbf {M} }$.

• Uzávěr prázdné množiny je prázdná množina.

• Uzávěr celého ${\displaystyle X}$ je ${\displaystyle X}$, tzn. ${\displaystyle {\overline {X}}=X}$.
• Pro ${\displaystyle \mathbf {A} \subseteq \mathbf {X} ,\mathbf {B} \subseteq \mathbf {X} }$ platí
  • ${\displaystyle \mathbf {A} \subseteq {\overline {\mathbf {A} }}}$
  • ${\displaystyle {\overline {\overline {\mathbf {A} }}}={\overline {\mathbf {A} }}}$
  • ${\displaystyle {\overline {(\mathbf {A} \cap \mathbf {B} )}}\subseteq {\overline {\mathbf {A} }}\cap {\overline {\mathbf {B} }}}$ (Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí! Zvažme například situaci ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,\,\mathbf {A} =[0,1)}$ a ${\displaystyle \mathbf {B} =[1,2]}$.)
  • ${\displaystyle {\overline {(\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )}}={\overline {\mathbf {A} }}\cup {\overline {\mathbf {B} }}}$
  • pokud ${\displaystyle \mathbf {A} \subseteq \mathbf {B} }$, pak ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}\subseteq {\overline {\mathbf {B} }}}$
  • je-li ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je podmnožinou uzavřené množiny ${\displaystyle \mathbf {B} }$, pak ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}\subseteq \mathbf {B} }$

• Vnitřek množiny
• Otevřená množina