L^p prostor

Nechť ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ je prostor s mírou a ${\displaystyle f}$ je μ-měřitelná funkce na ${\displaystyle X}$. Pak pro ${\displaystyle p\in \langle 1,\infty )}$ definujeme:

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}}$

a dále definujeme:

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup {|f(x)|}=\inf {\{c\geq 0:|f|\leq c{\mbox{ skoro všude na }}X\}}}$

Pro ${\displaystyle p\in \langle 1,\infty \rangle }$ pak konečně definujeme ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ prostor takto:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X)=\{f:\|f\|_{p}<\infty ,f{\mbox{ je měřitelná }}\}}$

Zobrazení ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ není přísně vzato normou, protože funkce, která je nulová pouze skoro všude, se zobrazí na nulu, ale definice normy požaduje, aby se na nulu zobrazil pouze nulový vektor, v tomto případě nulová funkce. Ostatní vlastnosti normy jsou ovšem splněny (trojúhelníková nerovnost plyne z Minkowského nerovnosti). Z rigorózního hlediska je tedy ještě potřeba zavést jiný druh prostoru, označme ho ${\displaystyle L^{p}}$, jehož prvky už nebudou funkce, ale třídy ekvivalence funkcí, které jsou si rovny skoro všude. Sčítání a skalární násobení prvků ${\displaystyle L^{p}}$ zavedeme přirozeným způsobem a norma třídy je pak dána výše definovanou „normou“ jejího libovolného prvku, neboť ty jsou si v dané třídě všechny rovné. Prvky těchto dvou druhů prostorů se obvykle nerozlišují značením ani pojmenováním.

Teoreticky je možné uvažovat i ${\displaystyle L^{p}}$ prostory pro ${\displaystyle p<1}$, lze ale ukázat, že ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ pak není norma. Naopak, pro ${\displaystyle p\geq 1}$ je ${\displaystyle L^{p}}$ prostor Banachovým prostorem, pro ${\displaystyle p=2}$ dokonce Hilbertovým prostorem.

• Prostory ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ pro množinu ${\displaystyle \Omega \subseteq R^{n}}$ s Lebesgueovou mírou.
• Prostory ${\displaystyle \ell ^{p}}$, definované jakožto ${\displaystyle L^{p}}$-prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. Prvky ${\displaystyle \ell ^{p}}$ jsou tedy jisté posloupnosti čísel.