Cauchyovská posloupnost

V metrickém prostoru M s metrikou ${\displaystyle \rho }$ je posloupnost ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots )}$ cauchyovská, pokud pro každou libovolně malou (ale nenulovou) vzdálenost platí, že od jistého bodu jsou všechny členy posloupnosti k sobě blíže než je tato vzdálenost. Tuto tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínku lze formálně zapsat

${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )(\forall m\in \mathbb {N} )(n>n_{0}\land m>n_{0}\Rightarrow \rho (x_{n},x_{m})<\varepsilon )}$.

Definici lze aplikovat i na racionální a reálná čísla (jakožto jednorozměrný metrický prostor s eukleidovskou metrikou): Posloupnost ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ racionálních nebo reálných čísel je cauchyovská, pokud ke každému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje index ${\displaystyle n_{0}}$ takový, že jím počínaje jsou všechny následující členy od sebe vzdáleny o méně než ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists n_{0}\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq n_{0}\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon }$.

Množina racionálních čísel není úplná, takže cauchyovská posloupnost racionálních čísel nemusí mít limitu (může konvergovat k iracionálnímu číslu). Množina reálných čísel úplná je, takže každá cauchyovská posloupnost reálných čísel má limitu.

• Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor ${\displaystyle \mathbb {A} }$, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru ${\displaystyle \mathbb {A} }$, se nazývá úplný metrický prostor.
• Každá konvergentní posloupnost reálných čísel je cauchyovská a naopak. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná a postačující podmínka konvergence v reálném oboru. Cauchyovská posloupnost racionálních čísel však může mít iracionální limitu.
• Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzano-Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.

• Harmonická posloupnost ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ je cauchyovská.

  Důkaz: Pro libovolně zvolené ${\displaystyle \varepsilon >0}$ lze vždy najít ${\displaystyle n_{0}>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ tak, že pro libovolná ${\displaystyle n\geq m>n_{0}}$ platí

  ${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|=\left|{\frac {n-m}{mn}}\right|\leq {\frac {n}{mn}}={\frac {1}{m}}<{\frac {1}{n_{0}}}<\varepsilon }$.

• Posloupnost racionálních čísel ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$ je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.

Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.