Uspořádaná n-tice

Hlavní vlastnosti, které uspořádanou n-tici odlišují od množiny jsou:

• uspořádaná n-tice může jeden objekt obsahovat vícekrát,
• závisí na pořadí objektů. Tedy např. zatímco neexistuje množina {2, 2} (resp. je možné ji chápat jako totožnou s množinou {2}), je uspořádaná dvojice (2, 2) dobře definovaná a různá od jednoprvkové n-tice (2). Obdobně, množina {1, 2} je totožná s množinou {2, 1}, zatímco uspořádaná dvojice (1, 2) se uspořádané dvojici (2, 1) nerovná. Rovnost dvou uspořádaných n-tic je totiž definována jako

${\displaystyle \left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)=\left(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\right)\Leftrightarrow a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},\dots ,a_{n}=b_{n}}$

Zatímco intuitivně je význam pojmu jasný, v rámci exaktnosti (zejména v axiomatické teorii množin) je nutno jej definovat pomocí množin.

Často se používá tato definice:

${\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\,\!}$

Potom lze uspořádanou n-tici (pro n > 2) chápat jako uspořádanou dvojici prvního prvku a zbytku, kterým je uspořádaná (n−1)-tice:

${\displaystyle (a,b,c)=(a,(b,c))\,\!}$

${\displaystyle (a,b,c,d)=(a,(b,c,d))\,\!}$

${\displaystyle \left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)=\left(a_{1},\left(a_{2},\dots ,a_{n}\right)\right)\,\!}$

Tato definice má však nevýhodu, že uspořádanou 0-tici a 1-tici je nutno definovat nějak extra. Přitom 0-tice a 1-tice jsou často praktické, aby bylo možné o pojmech jako n-ární operace nebo lineární kombinace n vektorů mluvit jednotně pro jakékoli ${\displaystyle n\geq 0}$.

Proto se někdy uspořádané n-tice definují tak, aby přechod od n-tice ke (n+1)-tici byl tentýž pro všechna ${\displaystyle n\geq 0}$:

1. Uspořádaná 0-tice () je definována jako prázdná množina ∅.
2. Pokud x je uspořádaná n-tice, pak {{a}, {a, x}} je uspořádaná (n+1)-tice, začínající prvkem a a pokračující prvky n-tice x.

Podle této definice je např. uspořádaná trojice (1, 2, 2) definována jako:

(1, 2, 2) = {{1}, {1, (2, 2)}} = {{1}, {1, {{2}, {2, (2)}}}} = {{1}, {1, {{2}, {2, {{2}, {2, ∅}}}}}}

Uspořádané n-tice se využívají k formální definici velkého množství matematických objektů, jejichž význam je sice jasný i bez nich, ale je nutné je definovat nějak formálně. Například:

• Binární relace mezi množinami A, B je intuitivně chápana jako jakýkoli vztah (například "bod leží na úsečce"); formálně se definuje jako množina uspořádaných dvojic (a,b) takových, že a a b jsou v relaci (v množině budou tedy uvedeny všechny dvojice (bod, přímka) takové, že bod leží na dotyčné přímce). Totéž platí i o relacích jiné arity.
• Totéž platí i pro zobrazení, neboť to je speciálním případem relace. Význam pojmu "funkce y = 3x-1" je sice intuitivně zřejmý, ovšem formálně se jedná o množinu uspořádaných dvojic ${\displaystyle \{(0,-1),(1,2),(2,5),(3,8),(4,11)\ldots \}\,\!}$ .
• N-tice se v matematice používají pro definice objektů, které se skládají z nějakých oddělených částí, například konečný automat, gramatika v teorii automatů apod.

• Množina
• Multimnožina