Otevřená množina

Množina reálných čísel ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ se nazývá otevřená, pokud pro každý její prvek ${\displaystyle x\in A}$ existuje ${\displaystyle \epsilon >0}$ takové, že v ${\displaystyle A}$ leží i všechna čísla ${\displaystyle y}$ vzdálená od ${\displaystyle x}$ méně než ${\displaystyle \epsilon }$ – jinými slovy:

Pro každé ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ takové, že ${\displaystyle |x-y|<\epsilon }$ platí ${\displaystyle y\in A}$.

Příklad 1: Interval ${\displaystyle (10,20)}$ je otevřená množina. Pro číslo 10,01 si můžeme za ${\displaystyle \epsilon }$ zvolit ${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$. (Proto se takovému intervalu říká otevřený interval.)

Příklad 2: Polouzavřený interval ${\displaystyle \langle 10,20)}$ není otevřená množina, protože pro ${\displaystyle x=10}$ neexistuje žádné vhodné ${\displaystyle \epsilon }$.

Pojem „otevřená množina“ lze zobecnit na libovolný metrický prostor, například na trojrozměrný Euklidovský prostor. Definice pro metrické prostory zní takto:

Podmnožina ${\displaystyle A}$ množiny ${\displaystyle X}$ je otevřená, pokud pro každý její bod ${\displaystyle x}$ existuje koule se středem v ${\displaystyle x}$, která celá leží v ${\displaystyle A}$. Tedy pro každý bod ${\displaystyle x\in A}$ existuje ${\displaystyle \epsilon >0}$ takové, že každé ${\displaystyle y\in X,\,d(x,y)<\epsilon }$ leží v ${\displaystyle A}$.

Reálná čísla jsou metrickým prostorem a obě výše uvedené definice na nich splývají (jsou ekvivalentní).

Pojem topologický prostor vznikl proto, aby mnoho pojmů z reálných čísel a z metrických prostorů (například konvergentní posloupnost nebo spojité zobrazení) bylo možno zobecnit na ještě širší třídu množin, na kterých nemá smysl definovat metriku. Každý metrický prostor je topologickým prostorem a množina je na něm otevřená v topologickém smyslu, právě když je otevřená v metrickém smyslu.

V topologickém prostoru je ovšem "otevřená množina" základním pojmem – topologický prostor je přímo definován souborem otevřených podmnožin. Topologickým prostorem nazýváme každou dvojici ${\displaystyle (A,\tau )}$, kde ${\displaystyle \tau }$ je systém podmnožin ${\displaystyle A}$ a splňuje jisté axiomy (sjednocení libovolného počtu a průnik konečného počtu množin z ${\displaystyle \tau }$ leží v ${\displaystyle \tau }$, navíc prázdná množina a X leží v ${\displaystyle \tau }$). Množiny z ${\displaystyle \tau }$ pak nazýváme otevřenými množinami.

Bod ${\displaystyle X}$ se nazývá vnitřním bodem množiny ${\displaystyle M}$, jestliže ${\displaystyle X\in M}$ a existuje nějaké okolí ${\displaystyle O(X)}$ bodu ${\displaystyle X}$ ležící celé v množině ${\displaystyle M}$, tj. ${\displaystyle O(X)\subseteq M}$. Množina všech vnitřních bodů množiny ${\displaystyle M}$ se nazývá vnitřek množiny ${\displaystyle M}$ a označuje ${\displaystyle M^{o}}$. Je-li množina ${\displaystyle M}$ totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny ${\displaystyle M}$ vnitřní, pak je ${\displaystyle M}$ množina otevřená.[1]

• Kompaktní množina
• Otevřené zobrazení
• Uzavřená množina
• Obojetná množina

• Rⁿ jako metrický a lineární prostor