Úplný metrický prostor
Metrický prostor je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je cauchyovská v příslušné metrice, konverguje (v příslušné metrice).
Zatímco posloupnost reálných čísel je konvergentní tehdy a jen tehdy, když je cauchyovská, v obecném metrickém prostoru platí jen jeden směr ("jen tehdy"); "úplné" jsou tedy právě ty metrické prostory, kde tato ekvivalence platí.
Úplný obal
Ke každému metrickému prostoru existuje takový úplný metrický prostor , že je možné izometricky zobrazit na jeho podprostor hustý v . Prostor nazýváme úplným obalem metrického prostoru .
Platí, že pokud jsou úplné obaly metrického prostoru , pak existuje izometrické zobrazení .
Vlastnosti
- Úplný metrický prostor není sjednocením spočetného systému řídkých množin.
- Je-li metrický prostor kompaktní, pak je i úplný.
- Metrický prostor X je úplný právě tehdy, když každá posloupnost do sebe zanořených uzavřených neprázdných podmnožin X, s poloměry jdoucími k 0, má neprázdný (přesněji jednobodový) průnik: jestliže Fn je uzavřená a neprázdná, Fn+1 ⊂ Fn pro každé n, a diam(Fn) → 0, pak existuje x ∈ X náležející každé množině Fn.
- Uzavřený podprostor úplného prostoru je úplný.
- Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
- Banachova věta o kontrakci říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.
Příklady úplných prostorů
- Prostor reálných čísel s euklidovskou metrikou je úplný. Stejně tak prostor komplexních čísel s metrikou danou absolutní hodnotou je úplný.
- Každý normovaný vektorový prostor konečné dimenze s metrikou indukovanou normou, tzn: je úplný. Předchozí příklad je vlastně speciálním případem tohoto faktu.
- Každý metrický prostor s diskrétní metrikou je úplný, neboť v této metrice jsou cauchyovské pouze posloupnosti, které jsou od jistého indexu konstantní (a tedy jsou konvergentní).
- Prostor všech spojitých funkcí na uzavřeném intervalu s metrikou
- je úplný.
Příklady neúplných prostorů
- Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) není úplný metrický prostor. Příkladem budiž posloupnost racionálních čísel , , , , a dále dle desetinného rozvoje cisla , která je cauchyovská, ale její limitou je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Posloupnost tedy není konvergentní v prostoru racionálních čísel.
- Jakýkoli (omezený) otevřený či polouzavřený interval na reálné ose je neúplný. Například na intervalu není konvergentní posloupnost
ačkoli je konvergentní v oboru všech reálných čísel.
Související články
- Banachův prostor – Úplný vektorový prostor.
- Banachova věta o pevném bodě
- Uzavřená množina
- Metrický prostor
- Kompaktní množina
Portály: Matematika
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.