Hranice množiny

Hranice množiny je v matematice pojem z topologie značící množinu všech takových prvků, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod zadané množiny a alespoň jeden bod mimo zadanou množinu. Značí se ∂M. Podobný význam má hranice metrického prostoru a hranice variety s hranicí.

Množina (světle modře) a její hranice (tmavě modře)

Formální definice v topologii

Existují tři ekvivalentní definice hranice množiny (X je univerzum):

Hranice množiny ∂M je uzávěr množiny M bez vnitřku množiny M: ∂M = M \ M°.
Hranice množiny ∂M je průnik uzávěru M s uzávěrem jejího doplňku: ∂M = M ∩ (X \ M).
Hranice množiny ∂M je množina všech bodů b univerza X takových, že každé okolí b obsahuje alespoň jeden bod patřící do M a alespoň jeden bod patřící do X \ M.

Příklady

Hranicí libovolného prostorového útvaru je jeho povrch. Například hranicí koule je sféra.
Hranicí libovolného rovinného útvaru je patřičná křivka. Například hranicí kruhu je kružnice.

Mějme množinu reálných čísel R s běžnou topologií založenou na otevřených intervalech. Pak:

$\partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}\,\!$
$\partial \emptyset =\emptyset$
$\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R}$
$\partial \mathbb {Q} \cap [0,1]=[0,1]$

Poslední dva příklady ukazují, že hranice husté množiny s prázdným vnitřkem je jejím uzávěrem[pozn 1].

V množině racionálních čísel s topologií otevřených intervalů, hranice množiny $\mathbb {Q} \cap (-\infty ,a)$ , kde a je iracionální, je prázdná množina[pozn 2].

Reference

John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975
James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988

Poznámky

Budeme postupovat podle první definice. Pro hustou množinu platí, že její uzávěr je celé univerzum. A neboť vnitřkem je prázdná množina, tak hranicí je celé univerzum.
Stačí si uvědomit, že ani jeden z hraničních bodů tohoto intervalu neleží v množině racionálních čísel.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu hranice množiny na Wikimedia Commons

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Budeme postupovat podle první definice. Pro hustou množinu platí, že její uzávěr je celé univerzum. A neboť vnitřkem je prázdná množina, tak hranicí je celé univerzum.

[2] Stačí si uvědomit, že ani jeden z hraničních bodů tohoto intervalu neleží v množině racionálních čísel.