Kleinova–Gordonova rovnice

Důvodem k náhradě Schrödingerovy rovnice jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje speciální teorii relativity. Proto nemůže být správná v situacích, kdy rychlosti částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro Hamiltonián

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}={{\hat {\mathbf {p} }}^{2} \over 2m}+V}$

vychází z newtonovského výrazu pro kinetickou energii ${\displaystyle T=m\mathbf {v} ^{2}/2=\mathbf {p} ^{2}/\left(2m\right)}$, který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči Lorentzovým transformacím.

Energie ve speciální relativitě je dána velikostí čtyřvektoru energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je

${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} ^{2}+m^{2}c^{4}\,,}$

kde ${\displaystyle m}$ je klidová hmotnost částice, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ je vektor hybnosti a ${\displaystyle c}$ je rychlost světla ve vakuu. Kleinovu–Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro energii a hybnost do tohoto vztahu.

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\partial \over \partial t}}$

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla }$

(Konstanta ${\displaystyle i}$ je imaginární jednotka.) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:

${\displaystyle -\hbar ^{2}{\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}=-\hbar ^{2}c^{2}\Delta \psi +m^{2}c^{4}\psi \,.}$

Rovnici vydělíme ${\displaystyle \hbar ^{2}c^{2}}$, odečteme pravou stranu a získáme

${\displaystyle \Delta \psi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}-{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0\,,}$

kde je na levé straně již vidět působení operátoru ${\displaystyle \square }$ na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu–Gordonovu rovnici.

Při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy, čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako skalár, tedy právě jako konstanta ${\displaystyle \left(mc/\hbar \right)^{2}}$, kde ${\displaystyle m}$ je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.

V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze x-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je ${\displaystyle {\hat {p_{x}}}=-i\hbar \left(\partial /\partial x\right)}$ a Kleinova–Gordonova rovnice přejde na tvar

${\displaystyle {\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}={m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi \,.}$

Kleinova–Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako počáteční podmínku zadat nejen vlnovou funkci ${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}$ v okamžiku ${\displaystyle t=t_{0}}$, ale zároveň i její derivaci ${\displaystyle \partial \psi /\partial t}$. V důsledku z toho také plyne, že veličina

${\displaystyle \rho ={i\hbar \over 2mc^{2}}\left(\psi ^{*}{\partial \psi \over \partial t}-\psi {\partial \psi ^{*} \over \partial t}\right)\,,}$

která by měla odpovídat hustotě pravděpodobnosti, může nabývat i záporných hodnot. To vedlo Paula Diraca ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme Diracova rovnice. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci antihmoty a také zcela novou fyzikální veličinu (spin), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy–Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.

• Schrödingerova rovnice
• Diracova rovnice
• Pohybová rovnice

• Kleinova–Gordonova rovnice v encyklopedii MathWorld (anglicky)