Amplituda pravděpodobnosti

Amplitudou pravděpodobnosti pro polohu nějaké částice je komplexní funkce (tedy funkce, jejímiž hodnotami jsou komplexní čísla) souřadnic, označujeme ji ${\displaystyle \Psi (x,y,z)}$, jde o hustotu pravděpodobnosti ${\displaystyle \varrho (x,y,z)}$ výskytu zkoumané částice v daném bodě prostoru se souřadnicemi ${\displaystyle (x,y,z)}$. Platí tedy

${\displaystyle \varrho (x,y,z)=|\Psi (x,y,z)|^{2}=\Psi ^{*}\Psi ,}$

hvězdičkou je označeno komplexně sdružené číslo.

Pro funkci ${\displaystyle \Psi (x,y,z)}$ se používá název vlnová funkce, alternativně tedy vlnová funkce ψ přiřazuje každé možné poloze částice v prostoru hustotu amplitudy pravděpodobnosti.

Z toho, že zkoumaná částice se v prostoru musí nacházet, vyplývá, že pokud si prostor rozdělíme na malé části a sčítáme pravděpodobnosti nalezení částice v některé z těchto malých částí, suma těchto pravděpodobností musí být rovna 1 (jistou událost). Uvedenému součtu odpovídá integrál přes celý prostor ${\displaystyle \Omega }$ a je rovný jedné. Platí tedy

${\displaystyle \int _{\Omega }|\Psi (x,y,z)|^{2}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=1.}$

Je to takzvaná normovací podmínka pro vlnovou funkci ${\displaystyle \Psi (x,y,z)}$.

Podle principu superpozice se kvantově-mechanická soustava (například elektron v atomu) může nacházet v superpozici dvou nebo více stavů. Jestliže uvažujeme superpozici stavů ${\displaystyle \Psi _{1}}$ a ${\displaystyle \Psi _{2}}$, potom platí

${\displaystyle \Psi =c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2},}$

kde ${\displaystyle c_{1}}$ a ${\displaystyle c_{2}}$ jsou komplexní konstanty a nazýváme je amplitudy pravděpodobnosti. Druhé mocniny jejich absolutních hodnot mají opět význam pravděpodobnosti. ${\displaystyle |c_{1}|^{2}}$ pravděpodobnost nalezení soustavy ve stavu ${\displaystyle \Psi _{1}}$ a ${\displaystyle |c_{2}|^{2}}$ je pravděpodobnost nalezení soustavy v stavu ${\displaystyle \Psi _{2}}$. Protože systém se nachází v superpozici stavů ${\displaystyle \Psi _{1}}$ a ${\displaystyle \Psi _{2}}$, v žádném jiném stavu ho najít nemůžeme.

Z toho vyplývá, že součet obou pravděpodobností musí být roven jedné. Čísla ${\displaystyle c_{1}}$ a ${\displaystyle c_{2}}$ nejsou zcela libovolná, ale jsou svázána normovací podmínkou

${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1.}$