Hustota pravděpodobnosti

Je-li ${\displaystyle \rho (x)}$ hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny ${\displaystyle X}$, pak platí

${\displaystyle \int _{\Omega }\rho (x)\mathrm {d} x=1\,}$,

kde ${\displaystyle \Omega }$ je definiční obor veličiny ${\displaystyle X}$. Pro hodnoty ${\displaystyle x}$ mimo definiční obor ${\displaystyle \Omega }$ je hustota pravděpodobnosti nulová, takže ${\displaystyle \rho (x)=0}$ pro ${\displaystyle x\notin \Omega }$.

Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti ${\displaystyle \rho (x)}$ je možné určit pravděpodobnost, že náhodná veličina ${\displaystyle X}$ nabývá hodnotu z intervalu ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2}\rangle }$, tedy

${\displaystyle P[x_{1}\leq X\leq x_{2}]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\rho (x)\mathrm {d} x}$

Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabývá určité (přesně dané) hodnoty, je nulová, což plyne z definice výše. Důsledkem toho je, že pro spojitou náhodnou veličinu platí vztahy

${\displaystyle P[x_{1}\leq X\leq x_{2}]=P[x_{1}<X\leq x_{2}]=P[x_{1}\leq X<x_{2}]=P[x_{1}<X<x_{2}]}$

Na rozdíl od pravděpodobnosti může funkce hustoty pravděpodobnosti nabývat hodnoty větší než jedna. Například rovnoměrné rozdělení na intervalu [0, ½] má hustotu pravděpodobnosti f(x) = 2 pro 0 ≤ x ≤ ½ a f(x) = 0 v ostatních případech.

Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti ${\displaystyle \rho (x)}$ a distribuční funkcí ${\displaystyle F(x)}$ platí vztah

${\displaystyle \rho (x)={\frac {\mathrm {d} F(x)}{\mathrm {d} x}}}$,

pokud derivace distribuční funkce v daném bodě ${\displaystyle x}$ existuje.

Standardní normální rozdělení má hustotu pravděpodobnosti

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\;e^{-x^{2}/2}.}$

• Rozdělení pravděpodobnosti
• Distribuční funkce

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability density function na anglické Wikipedii.