Projektivní geometrie

První geometrické vlastnosti projektivního charakteru byly objeveny ve třetím století Pappem z Alexandrie.[1] Johannes Kepler (1571–1630) a Girard Desargues (1591–1661) nezávisle na sobě rozvinuli základní koncept "bodů v nekonečnu". Desargues se snažil propojit tyto myšlenky s Euklidovou geometrií do jednoho systému. Další významní myslitelé, kteří přispěli k vývoji projektivní geometrie, byli Gaspard Monge a Jean-Victor Poncelet, který roku 1822 publikoval jedno ze základních historických pojednání o projektivní geometrii, ve kterém charakterizoval vztahy mezi metrickými a projektivními vlastnosti geometrických objektů.

Pozdější práce Ponceleta, Jakoba Steinera a jiných směřovaly k axiomatickému zavedení projektivních prostorů.

Grafické znázornění Fanovy roviny, nejjednodušší projektivní roviny

Ilustrace Desarguesovy věty

Následující axiomy jsou shrnutím axiomů navržených A. N. Whiteheadem.[2] Existují dva typy objektů, body a přímky, přičemž platí

• Každá přímka obsahuje alespoň 3 body.
• Každé dva body A a B leží na jediné přímce.
• Pokud se přímky AB a CD protínají, protínají se i AC a BD.

Podprostor AB…XY se dá rekurzivně definovat pomocí podprostoru AB…X jako prostor, který obsahuje všechny body všech přímek YZ, kde Z probíhá množinou {A,B,…X}. Množina bodů {A,B,…Z} je nezávislá, pokud A,B,…,Z je minimální podmnožina generující daný prostor.

Koncept přímky se dá zobecnit do rovin a projektivních prostorů vyšších dimenzí.

• projektivní prostor dimenze nejméně 0 je takový, který obsahuje alespoň 1 bod
• projektivní prostor dimenze nejméně 1 je takový, který obsahuje alespoň 2 body (a tedy přímku)
• projektivní prostor dimenze nejméně 2 je takový, který obsahuje alespoň 3 nekolineární body (přímku a bod, který na ní neleží)
• projektivní prostor dimenze nejméně 3 je takový, který obsahuje alespoň 4 nekolineární body (t.j. neležící v jedné projektivní rovině)

a tak dál. Projektivní prostor má dimenzi k pokud je k největší číslo takové, že prostor má dimenzi "nejméně k".

Nejběžnější model projektivní roviny je reálná projektivní rovina ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$, která se dá reprezentovat jako množina přímek v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ procházejících počátkem. Přímky projektivní roviny jsou pak množiny ("obyčejných" afinních) přímek v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, které leží v jedné ("obyčejné" afinní) rovině.

Projektivní transformace (kolineace) v rovině jsou všechny transformace, které pocházejí z lineárních zobrazení prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Projektivní rovinu můžeme reprezentovat jako množinu bodů ${\displaystyle (1,x,y)}$ v rovině {x=1} a směrů ${\displaystyle (0,x,y)}$, což odpovídá bodům v nekonečnu. Projektivní transformace, reprezentované jako transformace roviny {x=1}, pak zahrnují všechny Euklidovské transformace, afinní transformace, ale i mnohé další (některé převádějí elipsu na hyperbolu nebo parabolu a podobně). Projektivní transformace zachovávají přímky a také tzv. dvojpoměr.[4]

Podobně můžeme zkonstruovat projektivní prostor ${\displaystyle F\mathbb {P} ^{n}}$ nad libovolným tělesem F. Nejmenší model projektivní roviny je Fanova rovina, která obsahuje pouze 7 bodů a její model je ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\mathbb {P} ^{2}}$, kde ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ je dvouprvkové těleso.

Existují také projektivní geometrie, které nepocházejí z těles.

Běžné modely projektivních rovin nad tělesy reálných, komplexních čísel a kvaternionů jsou kompaktní variety, na kterých mají přirozenou akci kompaktní Lieovy grupy SO(n), SU(n), Sp(n). Analogie projektivní roviny nad oktoniony vedou na prostory, jejichž přirozené grupy symetrií jsou výjimečné Lieovy grupy.[5] Na těchto prostorech je možné zavést přirozeným způsobem metriku, ovšem definice "přímek" je složitá. Nejznámější z těchto projektivních rovin je reálná Cayleyho rovina

${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}\simeq F_{4}/Spin(9)}$,

na které působí výjimečná Lieova grupa ${\displaystyle F_{4}}$. Jako reálná varieta má Cayleyho rovina dimenzi 16. V tomto prostoru neplatí Desarguesova věta[6].

• Deskriptivní geometrie
• Projektivní rovina

• Obrázky, zvuky či videa k tématu projektivní geometrie na Wikimedia Commons
• Projective geometry na mathworld