Přímka

V R² je každá přímka L popsaná lineární rovnicí, která může být zadána v různých tvarech.

Ke směrnicové rovnici přímky.

Směrnicová rovnice přímky má tvar

${\displaystyle y=kx+q}$,

kde ${\displaystyle k=\operatorname {tg} \varphi }$ je tzv. směrnice přímky, přičemž ${\displaystyle \varphi }$ je orientovaný úhel s vrcholem v průsečíku přímky a první souřadnicové osy, jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první osa souřadnicové soustavy a přímka, a ${\displaystyle q}$ je tzv. úsek (vytnutý přímkou) na ose ${\displaystyle y}$, což je druhá souřadnice průsečíku přímky s osou ${\displaystyle y}$.

Pro ${\displaystyle k>0}$ představuje rovnice přímky rostoucí funkci, pro ${\displaystyle k<0}$ jde o funkci klesající. Pro ${\displaystyle k=0}$ je přímka rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$. Je-li ${\displaystyle q=0}$, pak přímka prochází počátkem ${\displaystyle O}$.

Přímku rovnoběžnou s osou ${\displaystyle y}$ nelze směrnicovou rovnicí vyjádřit.

K úsekové rovnici přímky.

Úseková rovnice přímky má tvar

${\displaystyle {\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}=1}$,

kde ${\displaystyle p\neq 0}$ je úsek (vytnutý přímkou) na ose ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle q\neq 0}$ je úsek (vytnutý přímkou) na ose ${\displaystyle y}$.

Přímku rovnoběžnou s osou ${\displaystyle x}$ nebo ${\displaystyle y}$ nelze úsekovou rovnicí vyjádřit.

K normálové rovnici přímky.

Normálovou rovnici přímky lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle x\cos \psi +y\sin \psi -n=0}$,

kde ${\displaystyle n\geq 0}$ představuje vzdálenost počátku soustavy souřadnic ${\displaystyle O}$ od přímky a ${\displaystyle \psi }$ je velikost orientovaného úhlu, jehož rameno je první kladná poloosa souřadné soustavy a druhé rameno je polopřímka s počátkem v ${\displaystyle O}$ vedená kolmo k přímce.

Členy ${\displaystyle \cos \psi }$ a ${\displaystyle \sin \psi }$ představují složky jednotkového vektoru kolmého k přímce.

Obecná rovnice přímky v rovině je speciálním případem obecné rovnice nadroviny a má tvar

${\displaystyle ax+by+c=0}$,

kde ${\displaystyle a,b,c}$ jsou konstanty, přičemž ${\displaystyle a\neq 0}$ nebo ${\displaystyle b\neq 0}$.

Pro ${\displaystyle a=0}$ je přímka rovnoběžná s osou ${\displaystyle x}$, pro ${\displaystyle b=0}$ je přímka rovnoběžná s osou ${\displaystyle y}$. Pro ${\displaystyle c=0}$ prochází přímka počátkem.

Porovnáním obecné a normálové rovnice lze určit význam konstant ${\displaystyle a,b,c}$. Konstanty ${\displaystyle a,b}$ určují vektor ${\displaystyle \mathbf {n} }$, který je kolmý k přímce. Parametr ${\displaystyle c}$ pak souvisí se vzdáleností přímky od počátku souřadné soustavy.

Obecnou rovnici přímky lze převést na rovnici směrnicovou, pokud zavedeme ${\displaystyle k=-{\frac {a}{b}},q=-{\frac {c}{b}}}$, pro ${\displaystyle b\neq 0}$. Zavedeme-li ${\displaystyle p=-{\frac {c}{a}},q=-{\frac {c}{b}}}$, pro ${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0,c\neq 0}$, pak můžeme obecnou rovnici převést na úsekový tvar. Převedením obecné rovnice přímky do normálového tvaru získáme normálovou rovnici přímky ve tvaru

${\displaystyle {\frac {a}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\operatorname {sgn} {c}}}x+{\frac {b}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\operatorname {sgn} {c}}}y+{\frac {c}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\operatorname {sgn} {c}}}=0}$

Důležité vlastnosti takto definovaných přímek jsou jejich sklon, průsečík s osou x a průsečík s osou y. Excentricita přímky je nekonečno.

Parametrické vyjádření přímky je definováno vztahem: ${\displaystyle X=A+u.t}$ a v rovině je tedy dáno rovnicemi

${\displaystyle x=x_{0}+a_{1}t}$

${\displaystyle y=y_{0}+a_{2}t}$

kde ${\displaystyle A=[x_{0},y_{0}]}$ je libovolný bod přímky, ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ jsou konstanty určující směrnici přímky, tedy vektor ${\displaystyle u=(a_{1},a_{2})}$ je směrovým vektorem přímky a ${\displaystyle t\in (-\infty ,\infty )}$ je proměnný parametr. Alespoň jedna z konstant ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ musí být nenulová.

Vektorová rovnice přímky má tvar

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {a} t}$

kde ${\displaystyle \mathbf {r} }$ je rádiusvektor procházející všemi body přímky, ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ je rádiusvektor jednoho z bodů přímky, ${\displaystyle \mathbf {a} }$ je vektor určující směr přímky a ${\displaystyle t\in (-\infty ,\infty )}$ je proměnný parametr.

Vektorový zápis tedy představuje přehlednější zápis parametrického tvaru rovnice přímky.

V polárních souřadnicích lze přímku vyjádřit jako

${\displaystyle \rho ={\frac {n}{\cos {(\psi -\varphi )}}}}$,

kde ${\displaystyle n}$ je vzdálenost přímky od počátku ${\displaystyle O}$ a ${\displaystyle \varphi }$ je velikost orientovaného úhlu s vrcholem v počátku, jehož první rameno tvoří polární osa a druhé rameno polopřímka kolmá k přímce s počátkem v O.

Rovnice přímky se směrnicí ${\displaystyle k}$ procházející bodem ${\displaystyle [x_{0},y_{0}]}$ je

${\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})}$

Rovnice přímky procházející dvěma danými body ${\displaystyle [x_{1},y_{1}]}$ a ${\displaystyle [x_{2},y_{2}]}$, kde ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$, má tvar

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

neboli

${\displaystyle y-y_{1}=(x-x_{1}){\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Předchozí rovnice bývá také vyjadřována ve formě determinantu

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$

Tuto rovnici lze využít jako podmínku k určení, zda tři body ${\displaystyle [x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],[x_{3},y_{3}]}$ leží na jedné přímce. Tyto body leží na jedné přímce, je-li splněna podmínka

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0}$

Přímkou v prostoru se nazývá množina bodů prostoru, které vyhovují rovnici přímky. Rovnici přímky v prostoru lze vyjádřit různými způsoby.

V R³ lze přímku L definovat jako průsečík dvou rovin, pomocí soustavy jejich lineárních rovnic:

${\displaystyle L=\{(x,y,z)\mid (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1})\land (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2})\}}$

(definici je nutné rozšířit o podmínky pro koeficienty ${\displaystyle a_{1}}$ až ${\displaystyle d_{2}}$, které zaručí, že roviny budou různoběžné).

Přímka v prostoru je tedy řešením soustavy rovnic

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$

Ve speciálním případě vyjádříme přímku jako průsečík dvou rovin, z nichž každá je kolmá k některé souřadnicové rovině, např. pro roviny kolmé k ${\displaystyle xy}$ a ${\displaystyle xz}$ dostaneme

${\displaystyle y=mx+q}$

${\displaystyle z=nx+r}$

Parametrické rovnice přímky v prostoru mají tvar

${\displaystyle x=x_{0}+ta}$

${\displaystyle y=y_{0}+tb}$

${\displaystyle z=z_{0}+tc}$

kde ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ je libovolný bod, kterým přímka prochází, ${\displaystyle a,b,c}$ jsou konstanty určující směrnici přímky a ${\displaystyle t\in (-\infty ,\infty )}$ je parametr.

Konstanty ${\displaystyle a,b,c}$ mohou být vyjádřeny prostřednictvím směrových úhlů ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ jako

${\displaystyle x=x_{0}+t\cos \alpha }$

${\displaystyle y=y_{0}+t\cos \beta }$

${\displaystyle z=z_{0}+t\cos \gamma }$

Směrové úhly přitom splňují podmínku

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1}$

Rovnici přímky procházející body ${\displaystyle [x_{1},y_{1},z_{1}],[x_{2},y_{2},z_{2}]}$ lze zapsat jako

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}}$

Rovnici přímky procházející bodem ${\displaystyle [x_{1},y_{1},z_{1}]}$ se směrovými úhly ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ lze zapsat jako

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{\cos \alpha }}={\frac {y-y_{1}}{\cos \beta }}={\frac {z-z_{1}}{\cos \gamma }}}$

Pokud místo směrových úhlů určíme směrnici přímky parametry ${\displaystyle a,b,c}$, pak lze předchozí vztah přepsat jako

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{a}}={\frac {y-y_{1}}{b}}={\frac {z-z_{1}}{c}}}$

Přímku lze zavést také v n-rozměrném prostoru.

Přímku v Rⁿ lze také vyjádřit parametricky: přímka procházející bodem ${\displaystyle A(a_{1};a_{2};...a_{n})\,}$ se směrovým vektorem ${\displaystyle v(v_{1};v_{2};...;v_{n})\,}$ je množina bodů ${\displaystyle L(x_{1};x_{2};...;x_{n})\,}$, pro které existuje skalár k takový, že

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}=a_{1}+kv_{1}\\x_{2}=a_{2}+kv_{2}\\...\\x_{n}=a_{n}+kv_{n}\end{matrix}}\right.}$

Místo předchozího parametrického vyjádření lze použít vektorový zápis

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +k\mathbf {v} }$

• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 8-9
• Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 12

• Základní geometrické útvary
• Lineární geometrické útvary
• Vzájemná poloha přímky a kružnice
• Výpočet průsečíku křivek

• Obrázky, zvuky či videa k tématu přímka na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo přímka ve Wikislovníku