Mohutnost

Relace ${\displaystyle \approx }$ je reflexivní, symetrická a tranzitivní:[1]

• ${\displaystyle (\forall x)(x\approx x)}$
• ${\displaystyle (\forall x,y)(x\approx y\implies y\approx x)}$
• ${\displaystyle (\forall x,y,z)((x\approx y\land y\approx z)\implies x\approx z)}$

Jedná se tedy o ekvivalenci na univerzální třídě ${\displaystyle V\,\!}$ – všechny myslitelné množiny se rozpadají do skupin (tříd ekvivalence neboli faktortříd) podle své mohutnosti.

Relace ${\displaystyle \preccurlyeq }$ je (na univerzální třídě ${\displaystyle V\,\!}$) reflexivní a tranzitivní:[1]

• ${\displaystyle (\forall x)(x\preccurlyeq x)}$
• ${\displaystyle (\forall x,y,z)((x\preccurlyeq y\land y\preccurlyeq z)\implies x\preccurlyeq z)}$

Nejedná se však o uspořádání, neboť tato relace není antisymetrická a to ani slabě:

Například pro dvě různé množiny ${\displaystyle x=\{0,1\}\,\!}$ a ${\displaystyle y=\{1,2\}\,\!}$ platí ${\displaystyle x\preccurlyeq y\land y\preccurlyeq x}$.

Cantorova-Bernsteinova věta uvedená v následujícím odstavci, poukazuje na fakt, že relace ${\displaystyle \preccurlyeq }$ je „skoroantisymetrická“ – dává do vztahu relace ${\displaystyle \preccurlyeq }$ a ${\displaystyle \approx }$ v následujícím smyslu. Protože relace ${\displaystyle \approx }$ je ekvivalencí na univerzální třídě ${\displaystyle V\,\!}$, lze univerzální třídu podle této relace faktorizovat. Cantorova-Bernsteinova věta pak říká, že relace ${\displaystyle \preccurlyeq }$ (resp. její přirozené přenesení na třídu ${\displaystyle V_{/\approx }}$ faktortříd ${\displaystyle V\,\!}$) je na ${\displaystyle V_{/\approx }}$ slabě antisymetrická, a tedy je neostrým uspořádáním.

Jiná situace je u relace ${\displaystyle \prec }$, která je antireflexivní, antisymetrická i tranzitivní:

• ${\displaystyle (\forall x)\neg (x\prec x)}$
• ${\displaystyle (\forall x,y)(x\prec y\implies \neg (y\prec x))}$
• ${\displaystyle (\forall x,y,z)((x\prec y\land y\prec z)\implies x\prec z)}$

Je tedy ostrým uspořádáním na V. V případě přijetí axiomu výběru je toto uspořádání lineární vzhledem k ekvivalenci ${\displaystyle \approx }$:

• ${\displaystyle (\forall x,y)(x\prec y\vee x\approx y\vee y\prec x)}$.

Cantorova-Bernsteinova věta uvádí do souvislosti obě relace týkající se mohutnosti:[2]
${\displaystyle (\forall x,y)((x\preccurlyeq y\land y\preccurlyeq x)\implies x\approx y)}$

Myšlenka důkazu této věty je uvedena v samostatném článku.

Cantorova věta uvádí do vztahu mohutnost množiny a její potenční množiny:[3]
${\displaystyle (\forall x)(x\prec {\mathcal {P}}(x))}$

Nekonečné množiny porušují lidskou intuitivní představu, že žádná množina nemůže být ekvivalentní (tj. stejně velká) se svojí částí (vlastní podmnožinou). Například množina Z⁰⁺ celých nezáporných čísel (tedy přirozených čísel včetně nuly) je ekvivalentní s množinou Z⁺ celých kladných čísel (tj. přirozených čísel bez nuly). Touto ekvivalencí je zobrazení f(x) = x + 1, které splňuje všechny požadavky bijekce ze Z⁰⁺ do Z⁺:

• Jeho definiční obor je přesně Z⁰⁺
• Jeho obor hodnot je přesně Z⁺ (je surjektivní)
• Různým argumentům přiřadí různé hodnoty, tedy je prosté (injektivní)

Celých čísel je stejně, jako celých kladných čísel. To lze dokázat tak, že celá čísla seřadíme: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ……

Formálně zapsáno, tuto ekvivalenci množin dosvědčuje zobrazení f(x) definované takto:

f(0) = 1 (nula je na první pozici ve výše uvedené posloupnosti)

f(x) = 2× pro x>0 (například trojka je na šesté pozici)

f(x) = 1+2|x| pro x<0 (například -3 je na sedmé pozici)

Uspořádaných dvojic celých kladných čísel je stejně, jako celých kladných čísel. To lze dokázat tak, že uspořádané dvojice (a,b) seřadíme podle a+b a v případě rovnosti a dvojice se shodným a+b podle b

(1,1); (2,1); (1;2); (3,1); (2,2); (1,3); (4,1); (3,2); (2,3); (1,4); (5,1) atd...

Bijekcí je zde zobrazení (označíme jej T₂(x,y)), které dvojici čísel přiřadí její pozici ve výše uvedené posloupnosti. Například T₂(2,2) = 5.

Podobně lze na celá kladná čísla zobrazit uspořádaná trojice: T₃(x,y,z) = T₂ (T₂(x,y), z). Toto lze zobecnit pro každé přirozené číslo n>0: Bijekci mezi množinami n-tic a Z⁺ tvoří zobrazení

T_n(x₁, x₂ ... x_n-1, x_n) = T₂ (T_n-1 (x₁, x₂ ... x_n-1), x_n)

V prvním kroku odhlédneme od toho, že např. ${\displaystyle {\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}\,\!}$, a seřadíme všechny zlomky ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\,\!}$ podle |a|+b, přičemž zlomky se stejným |a|+b seřadíme podle a. Obdržíme posloupnost:

${\displaystyle {\frac {0}{1}},\,{\frac {1}{1}},\,{\frac {-1}{1}},\,{\frac {-2}{1}},\,{\frac {-1}{2}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{1}},\,{\frac {-3}{1}},\,{\frac {-2}{2}},\,{\frac {-1}{3}},\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {2}{2}},\,{\frac {3}{1}},\,{\frac {-4}{1}},\,\ldots \,\!}$

Množina racionálních čísel je (dle své definice) ekvivalentní s množinou zlomků v základním tvaru; v naší posloupnosti však máme i zlomky, které nejsou v základním tvaru, například ${\displaystyle {\frac {3}{6}}\,\!}$. To lze vyřešit dvěma způsoby:

• můžeme z posloupnosti vynechat zlomky, které nejsou v základním tvaru, a u každého čísla uvažovat jeho index v takto vybrané posloupnosti. Prvním takto vynechaným číslem bude ${\displaystyle {\frac {-2}{2}}\,\!}$ na deváté pozici; proto zlomek ${\displaystyle {\frac {-1}{3}}\,\!}$, který měl v původní posloupnosti index 10, bude ve vybrané posloupnosti mít index 9. Každému racionálnímu číslu pak přiřadíme index odpovídajícího zlomku ve vybrané posloupnosti a tak obdržíme hledanou bijekci.

• Druhou možností je použít Cantorovu-Bernsteinova větu:

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}\preccurlyeq \mathbb {Q} \,\!}$ platí, protože ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}\subseteq \mathbb {Q} \,\!}$

${\displaystyle \mathbb {Q} \preccurlyeq \mathbb {Z} ^{+}\,\!}$ platí, protože každému racionálnímu číslu můžeme přiřadit index odpovídající zlomku v základním tvaru. Tím ovšem nevyčerpáme všechna přirozená čísla, neboť některé zlomky nejsou v základním tvaru.

Jsou splněny předpoklady Cantorovy-Bernsteinovy věty, a proto jsou množiny Z⁺ a Q ekvivalentní.

Uvažme množinu P všech konečných posloupností celých kladných čísel libovolné délky (včetně prázdné posloupnosti délky nula). Zdánlivě je P větší, než množina všech n-tic pro jakékoli pevné n. Ve skutečnosti je však P ekvivalentní se Z⁺. Pro důkaz uvažujme zobrazení, které posloupnosti (a₁, a₂, …, a_n) přiřadí číslo

T₂(1+n, T_n(a₁, a₂, ..., a_n))

Jedničku přičítáme proto, abychom funkci T₂ nepředali nulu, jde-li o posloupnost délky 0; takové posloupnosti přiřadíme číslo T₂(1, 1) – což neplyne u uvedené formule, protože funkci T₀ nemáme definovanou; funkci T₁ lze definovat jako T₁(x) = x.

Toto zobrazení ještě není bijekcí, protože v jeho oboru hodnot neleží čísla T₂(1, 2), T₂(1, 3), T₂(1, 4) atd. (Jinými slovy: je jen jedna prázdná posloupnost, ale my pro ni máme "rezervováno" nekonečně mnoho míst.) Bijekci dále sestrojíme stejným způsobem, jako výše u racionálních čísel.

Reálné číslo se nazývá algebraické, pokud je kořenem nějakého polynomu s celočíselnými koeficienty. Každý takový polynom má jen konečně mnoho kořenů.

Proto můžeme každému algebraickému číslu x přiřadit přirozené číslo T₃(n,p,q), kde:

• n je nejmenší stupeň polynomu, mezi jehož kořeny patří x
• p je nejmenší číslo, které je kódem některého z takových polynomů. Polynom s koeficienty z₀ až z_n lze zakódovat jako

T_n+1 (c(z₀), c(z₁), …, c(z_n)), kde c je bijekce z celých do celých kladných čísel

• q vyjadřuje, kolikátým kořenem polynomu je číslo x.

Z tohoto zobrazení lze vytvořit bijekci stejně, jako u racionálních čísel.

Vztah ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}\prec {\mathcal {P}}(\mathbb {Z} ^{+})}$ plyne přímo z Cantorovy věty uvedené výše.

Potenční množina přirozených čísel je ekvivalentní s množinou reálných čísel (${\displaystyle \mathbb {R} \approx {\mathcal {P}}(\mathbb {Z} ^{+})}$). To plyne z Cantorovy-Bernsteinovy věty, protože jsou splněny její předpoklady:

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {Z} ^{+})\preccurlyeq \mathbb {R} }$, což je dosvědčováno injektivním zobrazením f(M) = ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }10^{-i}.a_{i}\,\!}$, kde každé množině ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {Z} ^{+}\,\!}$ lze přiřadit koeficienty ${\displaystyle a_{i}\,\!}$ takto: ${\displaystyle a_{i}=1\,\!}$ když ${\displaystyle i\in M}$, jinak ${\displaystyle a_{i}=0\,\!}$. Jinými slovy, číslo f(M) bude mít v desetinném rozvoji jedničku na i-tém desetinném místě, pokud i je prvkem M.
• ${\displaystyle \mathbb {R} \preccurlyeq {\mathcal {P}}(\mathbb {Z} ^{+})}$ plyne z toho, že
  • ${\displaystyle \mathbb {R} \approx (0,1)}$, protože každé reálné číslo lze prostě zobrazit do otevřeného intervalu ${\displaystyle (0,1)\,\!}$ zobrazením ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {\arctan x}{\pi }}\,\!}$
  • ${\displaystyle (0,1)\preccurlyeq {\mathcal {P}}(\mathbb {Z} ^{+})}$, kde číslu ${\displaystyle x\in (0,1)}$ lze přiřadit množinu všech pozic, na kterých je v binárním desetinném rozvoji jednička. Například číslo ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}$ lze binárně zapsat jako 0,1 nebo jako 0,011111111111…. Pro definici injektivního zobrazení preferujeme první z těchto zápisů; proto toto zobrazení není surjektivní.

Z toho plyne, že množina reálných čísel není spočetná.

Reálné číslo se nazývá transcendentní, pokud není algebraické. Výše jsme dokázali, že množina algebraických čísel je spočetná, zatímco množina reálných čísel nikoli. Proto nemohou být totožné, čili existují transcendentní čísla. Toto je snazší důkaz existence, než dokazovat například, že Ludolfovo číslo je transcendentní; je to ovšem důkaz nekonstruktivní (nedává návod, jak transcendentní číslo nalézt).

Mohutnost množiny přirozených čísel se obvykle označuje ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ("alef nula" – alef je první písmeno hebrejské abecedy). Množiny se stejnou mohutností, jako přirozená čísla, se nazývají spočetné. Každá nekonečná podmnožina přirozených čísel je spočetná, např. množina:

• sudých přirozených čísel,
• prvočísel.

Naopak některé množiny, které intuitivně vnímáme jako větší, mají stejnou mohutnost, jako přirozená čísla. Mohutnost rovnou ${\displaystyle \aleph _{0}}$ mají množiny:

• přirozených čísel,
• celých čísel,
• racionálních čísel,
• algebraických čísel,
• všech konečných podmnožin přirozených čísel.

Mohutnost množiny všech reálných čísel se obvykle označuje ${\displaystyle c}$ či ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ (význam symbolů – viz článek Kardinální aritmetika). Tato mohutnost je ostře větší než mohutnost množiny přirozených čísel. Je mohutností například množiny:

• reálných čísel,
• komplexních čísel,
• všech čísel z libovolného intervalu s různými koncovými body,
• všech podmnožin přirozených čísel,
• všech spojitých reálných funkcí,
• všech bodů v rovině,
• všech bodů v prostoru,
• všech bodů úsečky.

Na otázku, zda existuje nějaká mohutnost mezi ${\displaystyle \aleph _{0}}$ a ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ (tj. zda existuje množina reálných čísel, která není spočetná, ale přitom má menší mohutnost, než množina všech reálných čísel) nelze najít odpověď z běžných axiomů teorie množin. Tzv. hypotézu kontinua, která tvrdí, že taková množina neexistuje, tj. že
${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$
nelze z axiomů teorie množin ani vyvrátit, ani dokázat.

Naopak na otázku, zda existuje více než jedna nespočetná mohutnost, dává odpověď Cantorova věta, která říká, že
${\displaystyle (\forall \alpha )(\aleph _{\alpha }\prec 2^{\aleph _{\alpha }})\,\!}$

To znamená, že nespočetných mohutností je nekonečně mnoho, protože
${\displaystyle \aleph _{0}\prec 2^{\aleph _{0}}\prec 2^{2^{\aleph _{0}}}\prec 2^{2^{2^{\aleph _{0}}}}\prec \ldots \,\!}$

Představme si ovčáka, který má dvě stáda ovcí – bílých a černých. Ovčák se rozhodne zjistit, které ze stád je větší, ale má velký problém – neumí počítat. Dlouho nad svým problémem přemýšlí, až ho napadne jednoduché řešení. Bere postupně ovce vždy po jedné z každého stáda a přivazuje je k sobě, vždy černou k bílé. Ví, že až s tím skončí, nezbude mu buď žádná volná bílá ovce, ale několik černých ano, nebo nezbude naopak žádná volná černá, ale několik bílých ano a konečně se může stát, že nezbude žádná bílá ani černá ovce. V prvním případě ovčák ví, že bílých ovcí je méně, ve druhém je černých méně a ve třetím případě jsou všechny ovce svázány po dvojicích k sobě, a tedy jsou obě stáda stejně početná.

Ovčák nemá k dispozici pojmy, které by označovaly jednotlivé počty ovcí (nezná čísla), stejně jako člověk neobeznámený s teorií množin (nebo ten, který teorii množin teprve vytváří) nemá pojmy, které by označovaly jednotlivé počty prvků nekonečných množin (nezná kardinální čísla). Přesto však jsou oba schopni svá stáda resp. množiny porovnávat z hlediska velikosti, neboť k pouhému porovnání není třeba přesné velikosti znát.

Následující příklad uváděl svým studentům David Hilbert, aby jim ukázal, že běžná intuice může při práci s aktuálním nekonečnem velmi klamat.

Představme si hotel s nekonečným (spočetným) počtem pokojů. Na vrátnici tohoto hotelu přijde člověk, který se chce ubytovat, všechny pokoje však jsou již obsazené. Recepční však hosta nepošle pryč. Zato si zavolá pokojskou a nakáže jí, aby obešla všechny pokoje a každého z hostů požádala, aby se přestěhoval do pokoje s číslem o jedna vyšším, než v jakém dosud bydlel. Poté, co hosté udělají vše podle pokynů pokojské, jsou opět všichni ubytováni, ale navíc se uvolnil pokoj s číslem 1, kam se nyní může nastěhovat nově příchozí. Dokud chodí na vrátnici vždy jen konečné skupinky lidí, je vše v pořádku – pokojská vždy požádá hosty, aby se odstěhovali do pokojů s číslem o několik vyšším a požadovaný počet pokojů s nejnižšími čísly zůstane volný pro nové hosty. Jednoho dne však na vrátnici tohoto hotelu přijde nekonečně (spočetně) mnoho lidí najednou a všichni se chtějí ubytovat. Vrátný si se vzniklou situací neví rady, a tak zavolá majitele hotelu, aby tolika rozzuřeným hostům vysvětlil, že pro ně v hotelu již není místo. Hoteliér však dostane nápad. Opět vyšle pokojskou, aby obešla všechny pokoje, ale tentokrát má za úkol hostům vyřídit, aby se přestěhovali do pokoje s číslem dvojnásobným oproti tomu, v němž bydleli dosud. Tím se uvolní všechny pokoje s lichými čísly a všichni noví hosté se mohou pohodlně nastěhovat.

• Kardinální aritmetika
• Spočetná množina
• Zobecněná hypotéza kontinua

• Obrázky, zvuky či videa k tématu mohutnost na Wikimedia Commons