Antisymetrická relace

Binární relace R na množině X se nazývá slabě antisymetrická, platí-li pro všechna a a b z X, že jestliže a je v relaci s b a b je v relaci s a, pak a = b.

Formálně zapsáno:

${\displaystyle (\forall a,b\in \mathbf {X} )(a\mathbf {R} b\land b\mathbf {R} a\;\Rightarrow \;a=b)}$

„Je menší nebo rovno“ je slabě antisymetrická relace: jelikož ${\displaystyle a\leq b\land b\leq a}$ je nemožné pro různá ${\displaystyle a\,\!}$ a ${\displaystyle b\,\!}$, je slabá antisymetrie zřejmá.

Slabá antisymetrie není opakem symetrie ${\displaystyle (a\mathbf {R} b\Rightarrow b\mathbf {R} a)}$. Existují relace, které jsou jak symetrické, tak slabě antisymetrické (rovnost), existují i relace, které nejsou ani symetrické, ani slabě antisymetrické (dělitelnost v okruhu celých čísel), existují relace, které jsou symetrické, ale nejsou slabě antisymetrické (dělení modulo p, kde p je prvočíslo), a existují relace, které nejsou symetrické, ale jsou slabě antisymetrické („je menší nebo rovno“).

Slabě antisymetrická relace, která je zároveň tranzitivní a reflexivní se nazývá neostré uspořádání (nebo jen uspořádání).

Binární relace R na množině X nazývá silně antisymetrická, platí-li pro všechna a a b z X, že jestliže a je v relaci s b pak b není v relaci s a.

Formálně zapsáno:

${\displaystyle (\forall a,b\in \mathbf {X} )(a\mathbf {R} b\Rightarrow \neg (b\mathbf {R} a))}$

Tato podmínka vylučuje existenci prvku a, který by byl v relaci sám se sebou — každá silně antisymetrická relace je proto ireflexivní.

Silně antisymetrická relace je například ostrá nerovnost < na přirozených číslech. To je také příklad ostrého uspořádání — relace, která je silně antisymetrická (z toho ireflexivní) a tranzitivní.