Prosté zobrazení

Zobrazení ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ nazýváme prosté (injektivní), jestliže platí implikace:

${\displaystyle \forall (x_{1},x_{2}\in X):(x_{1}\neq x_{2})\implies (f(x_{1})\neq f(x_{2}))}$.

Někdy se uvádí ekvivalentní definice s implikací v kontrapozici:

${\displaystyle \forall (x_{1},x_{2}\in X):(f(x_{1})=f(x_{2}))\implies (x_{1}=x_{2})}$.

Můžeme tedy vytvořit inverzní zobrazení.

V anglické literatuře je prosté zobrazení často označováno one to one (jeden ku jednomu), proto se občas setkáme jen s označeným 1-1.

Také se využívá rozlišení pomocí úpravy grafického symbolu šipky mezi množinami: ${\displaystyle f:X\rightarrowtail Y}$^[zdroj?] nebo ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y}$[1] namísto zápisu dále nespecifikovaného zobrazení:${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ .

• Reálná funkce ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ je prostá, protože pokud ${\displaystyle f(x)=f(y)}$, platí i ${\displaystyle 2x+1=2y+1}$, tedy ${\displaystyle x=y}$.
• Reálné funkce ${\displaystyle e^{x}}$ a ${\displaystyle \ln x}$ jsou prosté.
• Reálná funkce ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ prostá není, neboť např. ${\displaystyle 1=g(-1)=g(1)}$. Pokud ale funkci ${\displaystyle g}$ omezíme na interval ${\displaystyle [0,\infty )}$, je g prostá.
• Lineární zobrazení je prosté, právě když determinant odpovídající matice je nenulový.
• Periodické funkce obecně nejsou prosté. (V závislosti na dané funkci je možné aby byla prostá, pokud ji omezíme na interval délky jedné periody nebo kratší.)
• Cyklometrické funkce jsou definovány jako inverzní ke goniometrickým vzatých na intervalu jedné periody, tudíž prosté jsou.
• Každá striktně monotónní funkce (tj. rostoucí nebo klesající) je prostá.
• Sudá funkce nemůže být prostá.
• V teorii pravděpodobnosti distribuční funkce je prostá, ale hustota pravděpodobnosti pro reálnou náhodnou veličinu není.